Homeomorfisme

En matemàtiques, i més precisament en topologia, un homeomorfisme és un isomorfisme topològic; és a dir, una aplicació entre dos espais topològics que en preserva les respectives topologies. Un homeomorfisme és doncs una bijecció contínua amb inversa contínua; per això també s'anomenen aplicacions bicontínues. El terme homeomorfisme prové de les paraules gregues ὅμοιος (homoios) = similar i μορφή (morphē) = forma.

Els homeomorfismes preserven les propietats topològiques dels espais que relacionen. Dos espais topològics es diuen homeomorfs quan existeix un homeomorfisme entre ells: des del punt de vista topològic, tenen les mateixes propietats. La topologia és precisament la branca de la matemàtica que estudia les propietats dels objectes que no canvien en aplicar-los homeomorfismes.

Si pensem en un espai topològic com un objecte geomètric, un homeomorfisme és una transformació que permet deformar-lo: estirar-lo, arronsar-lo, doblegar-lo... Un acudit prou conegut afirma que un topòleg és aquell matemàtic que no distingeix un dònut d'una tassa de cafè.

Definició

Siguin X i Y espais topològics. Una aplicació f: X → Y és un homeomorfisme quan compleix les propietats següents:

f és bijectiva
f és contínua
La seva inversa f^-1 és contínua (o, cosa que és el mateix, f és una aplicació oberta).

En tal cas, es diu que X i Y són homeomorfs, i sovint s'escriu X≅Y.

Exemples

L'interval obert I =]−1, 1[ és homeomorf a la recta real R. Utilitzeu la funció $f(x)={\frac {2x-1}{x(x-1)}},$ , x és a I.

Un disc i un quadrat (subconjunts del pla R²) són homeomorfs.

L'esfera S₂, privada d'un punt, és homeomorfa al pla R².

L'espai producte S₁ × S₁ de dues circumferències és homeomorf a un tor bidimensional.

Dos espais mètrics isomètrics són homeomorfs.

Dues varietats diferenciables difeomorfes són homeomorfes.

Rⁿ i R^m no són homeomorfs si n≠m (teorema de la invariància de la dimensió).

Una bijecció contínua pot no ser un homeomorfisme, ja que no té per què ser oberta. Alguns exemples:
- L'aplicació f: [0,2π[ → S₁ tal que f(t) = (cost,sint).
- L'aplicació identitat Id: X₁ → X₂ en un conjunt X de més d'un element, on X₁ té la topologia discreta i X₂ té la topologia grollera.

Propietats

L'aplicació identitat d'un espai topològic, la composició de dos homeomorfismes, i l'aplicació inversa d'un homeomorfisme, són totes elles homeomorfismes. En particular, el conjunt dels homeomorfismes d'un espai topològic X en ell mateix és un grup, a vegades representat per Homeo(X).

Una bijecció contínua i oberta, o contínua i tancada, és un homeomorfisme. La darrera condició es compleix automàticament en alguns casos: si f: X → Y és una bijecció contínua, X és quasicompacte, i Y és separat, llavors f és tancada i doncs un homeomorfisme.

Qualsevol difeomorfisme entre varietats diferencials és un homeomorfisme entre els espais topològics subjacents. Tanmateix existeixen homeomorfismes que no són difeomorfismes, per exemple l'aplicació $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida per $f(x)=x^{3}$ .