Dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir una dimensió fraccionària (no entera) per a un objecte fractal.

Mesura de Hausdorff

Contingut de Hausdorff d'un conjunt, per a valors de la dimensió diferent inferiors a la dimensió de Haussdorff el contingut de Hausdorff és infinit, per a valors superiors el contingut és zero. Sols per a un valor igual a la dimensió de Hausdorff el contingut és una quantitat positiva i finita.

Sia $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ no buit. El diàmetre de $U$ es definix com a $|U|=\sup\{|x-y|:x,y\in U\}$.

Sia $I$ un conjunt arbitrari d'índexs. La col·lecció $\{U_{i}\}_{i\in I}$ s'anomena $\delta$-recobriment de $F$ si

• $F\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$; i
• $0<|U_{i}|\leq \delta$, per a cada $i\in I$.

Sia $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ i $s$ un nombre no negatiu. Per a qualsevol $\delta >0$ es definix:

${\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)=\inf\{\sum _{i=1}^{\infty }|U_{i}|^{s}\}$,

on l'ínfim es pren respecte a tots els $\delta$-recobriments numerables de $F$. És possible verificar que ${\mathcal {H}}_{\delta }^{s}$ és de fet una mesura exterior a $\mathbb {R} ^{n}$.

La mesura exterior $s$-dimensional de Hausdorff del conjunt $F$ es definix com el valor

${\mathcal {H}}^{s}(F)=\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)$.

Aquest límit existix. Però com que ${\mathcal {H}}_{\delta }^{s}$ creix quan $\delta$ decreix, pot ser infinit.

És fàcil veure que ${\mathcal {H}}^{s}$ és una mesura exterior, així és que, per al Teorema de Carathéodory, la restricció de ${\mathcal {H}}^{s}$ als conjunts ${\mathcal {H}}^{s}$-mesurables. És de fet una mesura, anomenada mesura s-dimensional de Hausdorff.

La mesura de Hausdorff generalitza la idea de longitud, àrea i volum. La mesura de dimensió zero compta el nombre de punts en un conjunt si el conjunt és finit, o és infinita si el conjunt ho és. La mesura unidimensional amida la longitud d'una corba suau a $\mathbb {R} ^{n}$. La mesura bidimensional d'un conjunt a $\mathbb {R} ^{2}$ és proporcional a la seva àrea i anàlogament la mesura tridimensional d'un conjunt a $\mathbb {R} ^{3}$ és proporcional al seu volum.

Per a tot conjunt $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ existix $s_{o}\leq n$ amb la propietat: ${\mathcal {H}}^{s}(F)=\left\{{\begin{array}{rcl}\infty &{\text{per a}}&s<s_{o}\\0&{\text{per a}}&s>s_{0}\end{array}}\right.$

Un gràfic de ${\mathcal {H}}^{s}$ en funció de $s$ (Vegeu figura) mostra que existix un valor crític de $s$ en el qual ${\mathcal {H}}^{s}$ canvia subitàment de $\infty$ a $0$.

El comportament de ${\mathcal {H}}^{s}(F)$ pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt $F$ amb infinits conjunts de diàmetre menut $\delta \rightarrow 0$ i es calcula la suma d'aquests diàmetres elevats a la $s$-èsima potència. Si $s$ és menut, aquestes potències tendixen a $1$ la qual cosa produïx que la suma divergisca. Si $s$ és gran, les $s$-èsimes potències tenen a zero i la suma tendix a anul·lar-se.

Dimensió de Hausdorff

La dimensió de Hausdorff es definix com a:

$dim_{H}(F):=sup\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty \}:=inf\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=0\}$

Referències

• Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
• Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
• Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"