Bivector
En matemàtiques, un bivector o vector-2 és una quantitat en àlgebra exterior o àlgebra geomètrica que amplia la idea d' escalars i vectors. Considerant un escalar com una quantitat de grau zero i un vector com una quantitat de grau un, un bivector és de grau dos. Els bivectors tenen aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques i la física. Estan relacionats amb nombres complexos en dues dimensions i amb pseudovectors i quaternions vectorials en tres dimensions. Es poden utilitzar per generar rotacions en un espai de qualsevol nombre de dimensions i són una eina útil per classificar aquestes rotacions.
Geomètricament, un bivector simple es pot interpretar com a caracteritzador d'un segment pla dirigit, de la mateixa manera que els vectors es poden interpretar com a caracterització de segments de línia dirigida.[2] El bivector a ∧ b té una actitud (direcció) del pla abastat per a i b, té una àrea que és un múltiple escalar de qualsevol segment pla de referència amb la mateixa actitud (i en àlgebra geomètrica, té una magnitud igual a la àrea del paral·lelogram amb arestes a i b), i té una orientació que és el costat d' a on es troba b dins del pla abastat per a i b.[2] En termes simples, qualsevol superfície defineix el mateix bivector si és paral·lela al mateix pla (mateixa actitud), té la mateixa àrea i la mateixa orientació (vegeu la figura).
Els bivectors són generats pel producte exterior sobre vectors: donats dos vectors a i b, el seu producte exterior a ∧ b és un bivector, com qualsevol suma de bivectors. No tots els bivectors es poden expressar com a producte exterior sense aquesta suma. Més precisament, un bivector que es pot expressar com a producte exterior s'anomena simple; en fins a tres dimensions tots els bivectors són simples, però en dimensions superiors no és així. El producte exterior de dos vectors és altern, de manera que a ∧ a és el bivector zero, i b ∧ a és el negatiu del bivector a ∧ b, produint l'orientació oposada. Els conceptes directament relacionats amb el bivector són el tensor antisimètric de rang 2 i la matriu simètrica esbiaixada.
Història
[modifica]El bivector va ser definit per primera vegada el 1844 pel matemàtic alemany Hermann Grassmann en àlgebra exterior com a resultat del producte exterior de dos vectors. Tot just l'any anterior, a Irlanda, William Rowan Hamilton havia descobert quaternions. Hamilton va encunyar el vector i el bivector, aquest últim a les seves Conferències sobre els quaternions (1853) mentre va introduir els biquaternions, que tenen bivectors per a les seves parts vectorials. No va ser fins que el matemàtic anglès William Kingdon Clifford l'any 1888 va afegir el producte geomètric a l'àlgebra de Grassmann, incorporant les idees tant de Hamilton com de Grassmann, i va fundar l'àlgebra de Clifford, que va sorgir el bivector d'aquest article. Henry Forder va utilitzar el terme bivector per desenvolupar l'àlgebra exterior el 1941.[3]
A la dècada de 1890, Josiah Willard Gibbs i Oliver Heaviside van desenvolupar el càlcul vectorial, que incloïa productes creuats separats i productes puntuals derivats de la multiplicació de quaternions.[4][5] L'èxit del càlcul vectorial, i del llibre Vector Analysis de Gibbs i Wilson, va tenir l'efecte que les idees de Hamilton i Clifford es van passar per alt durant molt de temps, ja que gran part de les matemàtiques i la física del segle XX es van formular en termes vectorials. Gibbs va utilitzar vectors per omplir el paper dels bivectors en tres dimensions, i va utilitzar el bivector en el sentit de Hamilton, un ús que de vegades s'ha copiat.[6][7][8] Avui el bivector s'estudia àmpliament com un tema en àlgebra geomètrica, una àlgebra de Clifford sobre espais vectorials reals o complexos amb una forma quadràtica. El seu ressorgiment va ser liderat per David Hestenes que, juntament amb altres, va aplicar l'àlgebra geomètrica a una sèrie de noves aplicacions en la física.
Propietats
[modifica]L'àlgebra generada pel producte geomètric (és a dir, tots els objectes formats prenent sumes repetides i productes geomètrics d'escalaris i vectors) és l'àlgebra geomètrica sobre l'espai vectorial. Per a un espai vectorial euclidià, aquesta àlgebra s'escriu o Cln(R), on n és la dimensió de l'espai vectorial Rn. Cln(R) és alhora un espai vectorial i una àlgebra, generada per tots els productes entre vectors en Rn, de manera que conté tots els vectors i bivectors. Més precisament, com a espai vectorial conté els vectors i bivectors com a subespais lineals, encara que no com a subàlgebres (ja que el producte geomètric de dos vectors no és generalment un altre vector).
Referències
[modifica]- ↑ Dorst, Leo. Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (en anglès). 2nd. Morgan Kaufmann, 2009, p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0.
- ↑ 2,0 2,1 Hestenes, David. New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (en anglès). 2nd. Springer, 1999, p. 21. ISBN 978-0-7923-5302-7.
- ↑ Forder, Henry. The Calculus of Extension (en anglès), 1941, p. 79.
- ↑ Parshall, Karen Hunger. The Emergence of the American Mathematical Research Community, 1876–1900 (en anglès). American Mathematical Society, 1997, p. 31 ff. ISBN 978-0-8218-0907-5.
- ↑ Farouki, Rida T. «Chapter 5: Quaternions». A: Pythagorean-hodograph curves: algebra and geometry inseparable (en anglès). Springer, 2007, p. 60 ff. ISBN 978-3-540-73397-3.
- ↑ Gibbs, Josiah Willard. Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics (en anglès). Yale University Press, 1901, p. 481ff.
- ↑ Boulanger, Philippe. Bivectors and waves in mechanics and optics (en anglès). Springer, 1993. ISBN 978-0-412-46460-7.
- ↑ Boulanger, P.H.. «Bivectors and inhomogeneous plane waves in anisotropic elastic bodies». A: Wu. Modern theory of anisotropic elasticity and applications (en anglès). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1991, p. 280 et seq. ISBN 978-0-89871-289-6.