Ortocentre

S'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prové del grec ορθο (orto), recte, en referència a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle.

Ortocentre $H$ del triangle $\triangle ABC$, intersecció de les tres altures $h_{a}$, $h_{b}$ i $h_{c}$

Existència

L'ortocentre $H$ del triangle $\triangle ABC$ és el circumcentre del triangle doble $\triangle UVW$

Vegem que les tres altures d'un triangle es tallen, efectivament, en un punt.Ho deduirem del fet que les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt, el circumcentre: A partir del triangle $\triangle ABC$, construim el triangle $\triangle UVW$ tot tirant rectes paral·leles als costats del triangle $\triangle ABC$ pels respectius vèrtexs oposats. Aleshores, els quadrilàters $ABUC$, $ABCV$ i $AWBC$ són paral·lelograms perquè tenen costats paral·lels dos a dos. Per tant,

${\begin{array}{l}AB=VC=CU,\\BC=WA=AV,\\AC=WB=BU\end{array}}$

i els punts $A$, $B$ i $C$ són, respectivament, els punts mitjans dels costats $VW$, $WU$ i $UV$ del triangle $\triangle UVW$. D'altra banda, com que les altures $h_{a}$, $h_{b}$ i $h_{c}$ del triangle $\triangle ABC$ són respectivament perpendiculars als costats $BC$, $AC$ i $AB$, també ho són a les seves paral·leles, és a dir als costats $VW$, $WU$ i $UV$ del triangle $\triangle UVW$ respectivament, just en els seus punts mitjans. En conseqüència, $h_{a}$, $h_{b}$ i $h_{c}$ són les mediatrius del triangle $\triangle UVW$, que és tallen en el seu circumcentre, és a dir, en el punt $H$

Posició segons el tipus de triangle

Si el triangle és acutangle, totes les altures són a l'interior del triangle i, per tant, també hi és l'ortocentre. Si el triangle és obtusangle, hi ha dues altures, les corresponents als costats de l'angle obtús, fora del triangle i, en conseqüència, l'ortocentre és fora del triangle. En un triangle rectangle, però, cada catet és l'altura corresponent a l'altre catet, cosa que fa que l'ortocentre coincideixi amb el vèrtex de l'angle recte.

Posicions de l'ortocentre H, segons si el triangle és acutangle, rectangle o obtusangle

Angles iguals, triangles semblants i quadrilàters cíclics determinats per les altures

Angles iguals, triangles semblants i quadrilàters cíclics determinats per les altures en un triangle acutangle i en un triangle obtusangle

En els triangles $\triangle ABC$, un acutangle i l'altre obtusangle, els punts $P$, $Q$ i $R$ són els respectius peus de les altures $h_{a}$, $h_{b}$ i $h_{c}$ en els costats $a=BC$, $b=AC$ i $c=AB$ (o prolongacions, en el cas del triangle obtusangle).

Angles iguals i triangles semblants

Considerem els triangles rectangles $\triangle ARC$ i $\triangle BQA$. Com que ambdós comparteixen l'angle agut ${\widehat {A}}$, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: ${\widehat {ACR}}={\widehat {QBA}}=\alpha$, els triangles $\triangle ARC$ i $\triangle BQA$ són triangles semblants

Fem el mateix amb els triangles rectangles $\triangle BPA$ i $\triangle CRB$. Ambdós, també, comparteixen l'angle agut ${\widehat {B}}$ i, per tant, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: ${\widehat {BAP}}={\widehat {RCB}}=\beta$, i els triangles $\triangle BPA$ i $\triangle CRB$ són semblants.

Igualment, els triangles rectangles $\triangle CQB$ i $\triangle APC$ comparteixen l'angle agut ${\widehat {C}}$. Aleshores, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: ${\widehat {CBQ}}={\widehat {PAC}}=\gamma$, els triangles $\triangle CQB$ i $\triangle APC$ són semblants.

Quadrilàters cíclics

En el triangle acutangle $\triangle ABC$, els quadrilàters $ARHQ$, $BPHR$ i $CQHP$ contenen, cadascun d'ells, una parella de vèrtexs oposats que són els peus de dues altures del triangle. Per tant, en aquests vèrtexs, l'angle és recte i la suma dels angles de vèrtexs oposats fa $180^{\circ }$ i, en conseqüència, aquests tres quadrilàters són quadrilàters cíclics.

A més, la igualtat dels angles ${\widehat {ACR}}={\widehat {QBA}}=\alpha$ fa que el quadrilàter $BCQR$ també sigui cíclic, com ho són $CARP$ i $ABPQ$ per les igualtats respectives ${\widehat {BAP}}={\widehat {RCB}}=\beta$ i ${\widehat {CBQ}}={\widehat {PAC}}=\gamma$.

En el triangle obtusangle $\triangle ABC$, els quadrilàters cíclics són $ARHQ$, $BPAQ$, $CRAP$, $BCRQ$, $CHQP$ i $HBPR$.

Les altures com a cevianes

Les altures d'un triangle són línies cevianes. De les semblances de triangles rectangles $ARC\sim BQA$, $BPA\sim CRB$ i $CQB\sim APC$, se'n dedueixen aquestes proporcions:

${\dfrac {AR}{QA}}={\dfrac {h_{c}}{h_{b}}}\,,\qquad {\dfrac {BP}{RB}}={\dfrac {h_{a}}{h_{c}}}\,,\qquad {\dfrac {CQ}{PC}}={\dfrac {h_{b}}{h_{a}}}$

Aleshores,

${\dfrac {AR}{RB}}\,{\dfrac {BP}{PC}}\,{\dfrac {CQ}{QA}}={\dfrac {AR}{QA}}\,{\dfrac {BP}{RB}}\,{\dfrac {CQ}{PC}}={\dfrac {h_{c}}{h_{b}}}\,{\dfrac {h_{a}}{h_{c}}}\,{\dfrac {h_{b}}{h_{a}}}=1$

i, segons el teorema de Ceva, les tres altures es tallen en un punt: l'ortocentre del triangle.

Quadrilàters cíclics i existència de l'ortocentre

Demostració de l'existència de l'ortocentre amb quadrilàters cíclics en un triangle acutangle i en un triangle obtusangle

L'examen d'alguns dels quadrilàters cíclics que es formen en tirar les altures d'un triangle proporciona encara una altra demostració de l'existència de l'ortocentre. Siguin els triangles $\triangle ABC$, l'un acutangle i l'altre obtusangle, amb al punt $H$ com a intersecció de les dues altures $h_{b}$ i $h_{c}$ Per veure que el punt $H$ és l'ortocentre a cada triangle, cal demostrar que la recta que passa pel vèrtex $A$, pel punt $H$ i que talla al costat $a=BC$ en el punt $P$, és perpendicular al costat $a=BC$ en aquest punt $P$ i que, per tant, conté la tercera altura del triangle.

En el triangle acutangle

Els triangles rectangles $\triangle ARC$ i $\triangle BQA$ comparteixen l'angle ${\widehat {A}}$ i, per tant, els seus altres respectius angles aguts són iguals: ${\widehat {QBA}}={\widehat {ACR}}=\alpha$. Això fa que el quadrilàter $BCQR$ sigui cíclic i, aleshores, $\varepsilon =180^{\circ }-{\widehat {C}}$, de manera que ${\widehat {QRA}}=\delta =180^{\circ }-\varepsilon ={\widehat {C}}$.

D'altra banda, en el quadrilàter $ARHQ$, els vèrtexs oposats $R$ i $Q$ són, respectivament, els peus de les altures $h_{c}$ i $h_{b}$ i ho són d'angles rectes, la suma dels quals és $180^{\circ }$. Per tant, aquest quadrilàter és cíclic i ${\widehat {QHA}}={\widehat {QRA}}=\delta$.

Finalment, en el triangle rectangle $\triangle CQB$ tenim: $\gamma ={\widehat {CBQ}}=90^{\circ }-{\widehat {C}}=90^{\circ }-\delta$ i en el triangle $\triangle BPH$ resulta ${\widehat {BHP}}=\delta$ i ${\widehat {PBH}}=\gamma =90^{\circ }-\delta$. En conseqüència, el triangle $\triangle BPH$ és un triangle rectangle en el vèrtex $P$, l'angle ${\widehat {HPB}}$ és recte, $AP$ és la tercera altura del triangle $\triangle ABC$ i el punt $H$ n'és l'ortocentre.

En el triangle obtusangle

Els triangles rectangles $\triangle CRA$ i $\triangle AQB$ comparteixen l'angle suplementari de l'angle ${\widehat {A}}$. Aleshores, els seus altres respectius angles aguts són iguals: ${\widehat {RCA}}={\widehat {ABQ}}=\alpha$. Per tant, el quadrilàter $BCRQ$ és cíclic i $\varepsilon =180^{\circ }-\beta$, o sigui que ${\widehat {RQH}}=\delta =180^{\circ }-\varepsilon =\beta$.

A més, en el quadrilàter $ARHQ$, els vèrtexs oposats $R$ i $Q$ són, respectivament, els peus de les altures $h_{c}$ i $h_{b}$ i ho són d'angles rectes, la suma dels quals és $180^{\circ }$. Aquest quadrilàter és, doncs, cíclic i ${\widehat {RAH}}={\widehat {RQH}}=\delta$.

Per acabar, en el triangle rectangle $\triangle CRB$ s'esdevé que ${\widehat {B}}=90^{\circ }-\beta =90^{\circ }-\delta$ i en el triangle $\triangle BPA$ tenim que ${\widehat {PAB}}=\delta$ i ${\widehat {B}}=90^{\circ }-\delta$. Per tant, el triangle $\triangle BPA$ és un triangle rectangle en el vèrtex $P$, l'angle ${\widehat {BPA}}$ és recte, $AP$ és la tercera altura del triangle $\triangle ABC$ i el punt $H$ n'és l'ortocentre.

El triangle òrtic

Triangles òrtics en un triangle acutangle i en un triangle obtusangle

Per a un triangle no rectangle, el triangle que té com a vèrtexs els peus de les seves tres altures s'anomena el triangle òrtic del primer. En un triangle rectangle, els catets són dues de les altures i els dos peus respectius coincideixen en el vèrtex de l'angle recte i, per tant, no hi ha triangle òrtic per a triangles rectangles. Les propietats del triangle òrtic divergeixen per a triangles acutangles i triangles obtusangles.

Triangles acutangles

En el triangle acutangle $\triangle ABC$ #ja s'ha vist que els quadrilàters $ABPQ$, $ARHQ$ i $BPHR$ són quadrilàters cíclics. Aleshores,

${\widehat {PAQ}}={\widehat {PBQ}}=\gamma \,,\qquad {\widehat {HRQ}}={\widehat {HAQ}}=\gamma \,,\qquad {\widehat {PRH}}={\widehat {PBH}}=\gamma$

i, per tant, ${\widehat {PRH}}={\widehat {HRQ}}=\gamma$. En conseqüència, l'altura $h_{c}=RC$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $R$ del triangle òrtic $\triangle PQR$.

De la mateixa manera, amb els quadrilàters cíclics $BCQR$, $BPHR$ i $CQHP$ es demostra que ${\widehat {QPH}}={\widehat {HPR}}=\alpha$ i que l'altura $h_{a}=PA$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $P$ del triangle òrtic $\triangle PQR$.

Igualment, del fet que els quadrilàters $CARP$, $CQHP$ i $ARHQ$ són cíclics es dedueix que ${\widehat {RQH}}={\widehat {HQP}}=\beta$, i que l'altura $h_{b}=QB$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $Q$ del triangle òrtic $\triangle PQR$.

Finalment, els costats del triangle $\triangle ABC$ són perpendiculars a les seves altures i, per tant, a les bisectrius del triangle òrtic, del qual en son bisectrius exteriors.

Resulta:

Les altures d'un triangle acutangle són les bisectrius del seu triangle òrtic i l'ortocentre n'és l'incentre. Els costats del triangle són les bisectrius exteriors del triangle òrtic i els vèrtexs en són els tres exincentres.

Triangles obtusangles

En el triangle obtusangle $\triangle ABC$ #ja s'ha vist que els quadrilàters $BCRQ$, $BPAQ$ i $PCRA$ són quadrilàters cíclics. Aleshores,

${\widehat {RBQ}}={\widehat {RCQ}}=\alpha \,,\qquad {\widehat {APQ}}={\widehat {ABQ}}=\alpha \,,\qquad {\widehat {RPA}}={\widehat {RCA}}=\alpha$

i, per tant, ${\widehat {APQ}}={\widehat {RPA}}=\alpha$. En conseqüència, l'altura $h_{a}=PA$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $P$ del triangle òrtic $\triangle PRQ$.

També, de l'examen dels quadrilàters cíclics $CHQP$, $CRAP$ i $RHQA$ es dedueix que ${\widehat {ARP}}={\widehat {QRA}}=\sigma$ i que el costat $c=AB$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $R$ del triangle òrtic $\triangle PRQ$.

Igualment, com que els quadrilàters $BPRH$, $RHQA$ i $BPAQ$ són cíclics resulta que ${\widehat {AQR}}={\widehat {PQA}}=\rho$, i que elcostat $b=AC$ del triangle $\triangle ABC$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $Q$ del triangle òrtic $\triangle PRQ$.

Finalment, les altures $h_{b}$ i $h_{c}$ del triangle $\triangle ABC$ són perpendiculars, respectivament, als costats $b=AC$ i $c=AB$ i, per tant, a dues de les bisectrius del triangle òrtic, del qual en son bisectrius exteriors.

Tot plegat fa que:

Les altures corresponents als costats de l'angle obtús d'un triangle obtusangle són dues bisectrius exteriors del seu triangle òrtic, la tercera altura és la bisectriu corresponent al tercer vèrtex del triangle òrtic i l'ortocentre n'és un exincentre. El vèrtex de l'angle obtús del triangle n'és l'incentre.

Vegeu també

• Incentre
• Baricentre
• Circumcentre
• Recta d'Euler

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972.