Funció gamma multivariada

En matemàtiques, la funció gamma multivariada Γ_p és una generalització de la funció gamma. És útil en estadística multivariant, que apareixen en la funció de densitat de probabilitat de les distribucions de Wishart i de Wishart inversa, i la distribució matriu variada beta.

Té dues definicions equivalents. Una es dona com la següent integral sobre les matrius definides positives reals $p\times p$:

$\Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\left|S\right|^{a-(p 1)/2}dS,$on S>0 significa que S és una matriu definida positiva.

(vegeu que $\Gamma _{1}\left(a\right)$es redueix a la funció gamma ordinària).

L'altre, més útil per obtenir un resultat numèric és:

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a (1-j)/2\right].$

A partir d'això, tenim les relacions recursives:

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a (1-p)/2].$

Així

• $\Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)$
• $\Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)$
• $\Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)$

etc...

Derivades

Podem definir la funció digamma multivariada com

$\psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a (1-i)/2),$

i la funció poligamma general com a

$\psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a (1-i)/2).$

Passos de càlcul

• A partir de

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a {\frac {1-j}{2}}\right),$

s'obté

${\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a {\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a {\frac {1-j}{2}}\right).$

• Per definició de la funció digamma, ψ,

${\frac {\partial \Gamma (a (1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a (i-1)/2)\Gamma (a (i-1)/2)$

s'obté

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a (1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a (1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a (1-i)/2).\end{aligned}}$

Bibliografia

• James, A. «Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples». Annals of Mathematical Statistics, 35, 2, 1964, pàg. 475–501. DOI: 10.1214/aoms/1177703550.
• Gupta, A. K; Nagar, D. K. Matrix variate distributions. Chapman and Hall, 1999.