Funció gamma incompleta

En matemàtiques, es coneixen com a funcions gamma incompletes a dues generalitzacions de la funció gamma (també anomenada funció gamma completa) que prenen com a argument dues variables en comptes d'una. Aquestes generalitzacions es coneixen com a funció gamma incompleta superior (o, simplement, funció gamma incompleta) i funció gamma incompleta inferior.

La funció gamma incompleta superior per alguns valors del paràmetre $a$. En blau per $a=0$, en vermell per $a=1$, en verd per $a=2$, en taronja per $a=3$ i en lila per $a=4$.

Definició formal

La funció gamma incompleta superior ve donada per

$\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}\,dt$

mentre que la funció gamma incompleta inferior ve donada per

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}\,dt$.

D'aquesta manera es té una còmoda relació amb la funció gamma completa, doncs $\Gamma (a)=\Gamma (a,x) \gamma (a,x)$ i, també, $\Gamma (a)=\Gamma (a,0)\,$.

Expressions equivalents

Per $a=n\in \mathbb {N}$ es té

$\Gamma (n,x)=(n-1)!\,e^{-x}\,\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {x^{k}}{k!}}$

i, per $a=0$,

$\Gamma (0,x)={\cfrac {e^{-x}}{x 1-{\cfrac {1}{x 3-{\cfrac {4}{x 5-{\cfrac {9}{x 7-\cdots }}}}}}}}\,$.

Funcions de distribució

Diverses funcions de distribució són fàcilment expressables en termes de funcions gamma incompletes. Per exemple, la funció de distribució de la khi quadrat de Pearson pot expressar-se com

$F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2,0)}}$,

mentre que la funció de distribució de la distribució de Poisson es pot expressar com

${\frac {\Gamma (\lfloor k 1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\qquad {\text{per }}k\geq 0\,$.