Niz
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija. |
Funkciju kojoj je domen skup prirodnih brojeva , a kodomena ma koji dati skup nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa , odnosno sa .
U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake odnosno .
Element (tj. ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element prvi član niza.
Ako je domen funkcije konačan podskup skupa , onda za niz kažemo da je konačan, i označavamo ga sa .
Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.
- Primjer
- Funkcija data sa za određuje niz
- Niz zadan formulom za , tj. glasi
Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang konačan skup .
Važniji nizovi brojeva
[uredi | uredi izvor]Fibonaccijev niz
[uredi | uredi izvor]Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.
a(n 2) =an a(n 1)
Primjer
2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....
Aritmetički niz
[uredi | uredi izvor]Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
a(n 1) - an = a(n 2) -a(n 1)
Primjer
7, 9, 11, 13 ,.....
1,2 ,3, 4, 5, ...
Geometrijski niz
[uredi | uredi izvor]Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
[a(n 1)]2 =ana(n 2)
Tačka gomilanja niza
[uredi | uredi izvor]Neka je neki pozitivan broj i . Pod - okolinom tačke , u oznaci ili podrazumijevamo skup
- okolina tačke je otvoreni interval dužine .
Broj nazivamo tačkom gomilanja niza ako svakoj - okolini tačke pripada beskonačno mnogo članova niza .
Dati niz može imati više tačaka gomilanja
Ograničeni nizovi
[uredi | uredi izvor]Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.
Za niz kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.
- Primjer
Niz je ograničen. Za svako n je
Monotoni nizovi
[uredi | uredi izvor]Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:
nazivamo monotono uzlazni (rastući). Naprimjer, niz 1, 2, 3, ... je monotono uzlazni, ali, također, i niz 2, 2, 2, ...
Za niz sa osobinom:
kažemo da je monotono silazni (opadajući) (npr. niz 5, 4, 4, 3, ...).
Specijalno, za nizove sa karakteristikama:
kažemo da su strogo monotoni, odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).
Nizovi funkcija
[uredi | uredi izvor]Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.
Niz funkcija označavamo kraće sa odnosno
Konvergencija nizova
[uredi | uredi izvor]Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.
Ako je dati niz i realan broj, onda za broj kažemo da je granična vrijednost niza ako za svaki postoji prirodan broj (koji može da ovisi od ) takav da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost:
U tom slučaju pišemo odnosno kada i čitamo: je granična vrijednost niza kada n teži u beskonačnost odnosno konvergira broju .
Ako je , onda niz nazivamo nula niz.
Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.
Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj naziva se granična vrijednost niza ako se u svakoj njegovoj - okolini nalaze gotovo svi članovi niza , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.
- Primjer
Niz konvergira broju 2
Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:
- Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
- Konvergentan niz je ograničen
Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .
Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .
Konvergencija funkcionalnih nizova
[uredi | uredi izvor]U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.
Konvergencija po tačkama
[uredi | uredi izvor]Neka je neki niz funkcija definisanih na nekom skupu . Ako odaberemo neko proizvoljno , onda stavljajući dobijamo brojni niz .
Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz konvergira u tački .
Ako niz konvergira u svakoj tački , onda kažemo da niz konvergira na .
Ovaj vid konvergencije niza često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.
Ravnomjerna (uniformna) konvergencija
[uredi | uredi izvor]Neka su na nekom skupu definisane funkcije .
Kažemo da niz ravnomjerno (uniformno) na konvergira ka funkciji ako za svako postoji prirodan broj koji zavisi samo od i takav je da za svako vrijedi
Konvergencija gotovo svuda
[uredi | uredi izvor]Ako niz konvergira za gotovo svako , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na .
Konvergencija u mjeri
[uredi | uredi izvor]Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u mjeri ka funkciji , ako za svako vrijedi
Konvergencija u normi
[uredi | uredi izvor]Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u normi ako vrijedi: