Kvadratna jednačina

Pojam kvadratna jednačina u matematici označava jednačinu drugog stepena, to znači jednačina sa jednom nepoznatom,u kojoj se nepoznata kvadrirana (x²). U osnovnom obliku kvadratna jednačina izgleda ovako:

ax^{2} bx c=0

Gdje su a, b realni brojevi, tzv. koeficijenti te jednačine, x je nepoznata. Koeficijent a je uvijek različit od nule, tj. kada je a = 0 radi se o linearnoj jednačini. Često se kvadratna jednačina izrazuje u normiranom obliku, gdje a = 1. Do tog oblika može se prevesti bilo koja jednačina, dijeljenjem sa koeficijentom a.

Pojedinačni članovi imaju svoje nazive: ax² je kvadratni član, bx je linearni član i c je slobodni ili apsolutni član.

Rješavanje jednačine

Prilikom rješavanja, najprije se izračuna tzv. diskriminanta $D=b^{2}-4ac$ . U zavisnosti od njene vrijednosti mogu nastati tri slučaja:

D = 0, tada jednačina ima jedno (tzv. dvostruko) rješenje $x={\frac {-b}{2a}}$ . Prvobitnu jednačinu je moguće zapisati u obliku $a(x {\frac {b}{2a}})^{2}=0$ .
D > 0, tada jednačina ima dva različita realna rješenja $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ . Jednačinu je moguće zapisati u obliku $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ .
D < 0, tada jednačina nema realnih rješenja. Njena rješenja su dva kompleksna broja $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-D}}}{2a}}$ . Jednačinu je moguće napisati u obliku $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ .

Kompleksni koeficijenti

U najobičnijim slučajevima koeficijenti $a,b,c$ mogu da budu kompleksni brojevi. Rješenje opet nalazimo izračunavanjem diskriminante $D=b^{2}-4ac$ i njenog drugog korijena u domeni realnih brojeva. Formula za rješavanje je ista kao i kada su u pitanju realni koeficijenti. $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ . Rješenja su obično dva kompleksna broja, i među njima ne mora postojati nikakav odnos. Jednačinu je opet moguće napisati u obliku $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ . U slučaju da je diskriminanta nula, jednačina ima samo jedno rješenje $x_{0}$ i oblik $a(x-x_{0})^{2}=0$ .

Dalje jednakosti

Za rješenja jednačine moraju vrijediti i sljedeće jednakosti (tzv. Vièteove formule):

$x_{1} x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

Geometrijsko značenje

Lijevu stranu jednačine (ax² bx c) opisuje parabola s osom paralenom osi y. Ako je a>0, parabola je otvorena prema gore (tj. tjeme je dole), za a<0 otvorena je prema dole (tjeme je gore). Rješavanju kvadratne jednačine odgovara traženje presjeka te parabole s osom x. U zavisnosti od položaja parabole, nastaju sljedeći slučajevi:

Cijela parabola leži nad (za a>0) ili pod (pro a<0) osom x. To nastane u slučaju, kada je D<0. Tada parabola nema presječnih tačaka s osom x, što znači, da kvadratna jednačina nema realnih rješenja
Tjeme parabole leži na osi x. To nastane u slučaju, kada je D=0. Tada parabola i osa x se dodiruju, tj. iamju samo jednu presječnu tačku, drugim rječima kvadratna jednačina ima samo jedno rješenje.
Osa x sječe parabolu u dvije tačke. To nastane u slučaju, kada je D>0. Tada jednačina ima dva realna i različita rješenja.

x² − x 1: Cijela parabola je nad osom x.
−x² − 2x − 2: Cijela parabola je pod osom x.
−x² 2x − 1: Parabola dotiče osu x.
x² − 5x 2: Osa x sječe parabolu u dvije tačke.