Kodomen

U matematici, kodomen ili područje vrijednosti funkcije f : X → Y je skup Y. Domen funkcije f je skup X. Slika funkcije f je skup f(X) definisan sa {f(x) : x ∈ X}. Iz ovih definicija slijedi da je slika funkcije f uvijek podskup kodomena od f.

Primjer

Zorni prikaz razlike između kodomena i slike se može pronaći razmatranjem matrice linearne transformacije. Dogovor je da je domen linearne transformacije povezan sa matricom $\mathbb {R} ^{n}$ , a njen kodomen je $\mathbb {R} ^{m}$ , pri čemu je matrica tipa $m\times n$ (ima m redova i n kolona). Ali bi slika (skup brojeva dobiven množenjem udesno svake vektor-kolone matrice dužine n) mogla biti znatno manja. Naprimjer, ako matrica sadrži samo nule, tada je bez obzira na veličinu njena slika samo vektor 0. Dimenzija rezultirajućeg vektora je m. Ovo je važan zaključak, s obzirom da je dovoljno promijeniti samo jedan broj u matrici da njena slika ne bude nula.

Drugi primjer: Neka je funkcija f funkcija nad realnim brojevima:

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

definisana sa

f\colon \,x\mapsto x^{2}.

Kodomen funkcije f jest R, ali očito f(x) nikad ne poprima negativne vrijednosti, te je stoga slika u biti skup R₀—nenegativnih realnih brojeva, tj. interval [0,∞):

0\leq f(x)<\infty .

Funkcija g je mogla biti definisana i na sljedeći način:

g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{ }

g\colon \,x\mapsto x^{2}.

Iako f i g imaju isti krajnji učinak na dati broj, one nisu, u modernom shvaćanju, jednake funkcije, pošto imaju različite kodomene.

Da bismo pobliže vidjeli zašto, pretpostavimo da imamo definisanu drugu funkciju,

h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.

Moramo definirati domen, te funkcije kao $\mathbb {R} _{0}^{ }$ :

h\colon \mathbb {R} _{0}^{ }\rightarrow \mathbb {R}

.

Sada definišimo kompozicije

h\circ f

,

h\circ g

.

Prva kompozicija nema smisla. Pretpostavimo da ne znamo koja je slika funkcije f - samo znamo da može poprimiti vrijednosti iz $\mathbb {R}$ . Ali tad dolazi do problema, pošto drugi korijen nije definisan za negativne brojeve. Sad imamo moguću kontradikciju.

Ovakva je situacija nejasna, i u formalnom bi se radu trebala izbjegavati. Kompozicija funkcija stoga zahtijeva po definiciji da kodomen (ne slika, koja je pak posljedica funkcije i stoga neodređena na razini kompozicije) funkcije na desnoj strani bude jednaka domenu funkcije na lijevoj strani.

Kodomen može uticati na surjektivnost funkcije, tj g je surjekcija, dok f nije. Kodomen ne utiče na injektivnost funkcije.

Također pogledajte