ফার্মি শক্তি

ফার্মি শক্তি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের একটি ধারণা যা পরম শূন্য তাপমাত্রায়, একটি মিথষ্ক্রিয়াহীন ফার্মিয়নের কোয়ান্টাম সিস্টেমে, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অধিকৃত একক-কণা অবস্থার মধ্যে, সাধারণত শক্তি পার্থক্য নির্দেশ করে। ফার্মি গ্যাসে,নিম্ন অধিকৃত স্তর, শূন্য গতিশক্তির,পক্ষান্তরে ধাতুতে নিম্ন অধিকৃত স্তর পরিবহন ব্যান্ডের নিচে থাকে।

ফার্মি শক্তি শব্দটি, প্রায় ভিন্ন কিন্তু কাছাকাছি ধারনার, ফার্মি স্তর ( তড়িৎরাসায়নিক বিভব নামেও পরিচিত ) কে নির্দেশ করে।  এই নিবন্ধে ব্যবহৃত ফার্মি স্তর এবং ফার্মি শক্তির মধ্যে কয়েকটি প্রধান পার্থক্য হল:

• ফার্মি শক্তি শুধুমাত্র পরম শূন্য তাপমাত্রায় সংজ্ঞায়িত পক্ষান্তরে ফার্মি স্তর যে কোন তাপমাত্রায়  সংজ্ঞায়িত করা হয়।
• ফার্মি শক্তি হল শক্তির পার্থক্য (সাধারণত গতিময় বা গতিসম্পর্কিত শক্তি সংশ্লিষ্ট) পক্ষান্তরে ফার্মিস্তর, গতিশক্তি এবং বিভবশক্তি সহ মোট শক্তি স্তর।
• ফার্মিশক্তি শুধুমাত্র মিথষ্ক্রিয়াহীন ফার্মিয়নের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত (যেখানে বিভবশক্তি বা ব্যান্ড প্রান্ত একটি সুস্থিত, সুনির্দিষ্ট পরিমাণের) পক্ষান্তরে ফার্মিস্তর (ইলেকট্রনের তড়িৎরাসায়নিক বিভব) তাপগতীয় সাম্যাবস্থায় মিথষ্ক্রিয় ব্যবস্থার ক্ষেত্রেও সংজ্ঞায়িত।

যেহেতু পরম শূন্য তাপমাত্রায় ধাতুর ফার্মি স্তর হল, সর্বোচ্চ অধিকৃত একক কণা অবস্থার শক্তি সেহেতু ধাতুর ফার্মি শক্তি হবে, পরম শূন্য তাপমাত্রায় ফার্মি স্তর এবং নিম্ন অধিকৃত একক-কণা অবস্থার মধ্যে শক্তি পার্থক্য। 

ভূমিকা

প্রসঙ্গ

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পাউলির বর্জন নীতি মেনে চলা একটি কণার শ্রেণী ফার্মিয়ন (যেমন,ইলেকট্রন,প্রোটন ও নিউট্রন) নামে পরিচিত।এই নীতি অনুসারে দুটি ফার্মিয়ন কখনই একই কোয়ান্টাম অবস্থা দখল করতে পারবে না। যেহেতু একটি আদর্শ মিথষ্ক্রিয়হীন ফার্মি গ্যাস একক কণার স্থির অবস্থায় বিশ্লেষণ করা যেতে পারে,সেহেতু আমরা বলতে পারি যে দুটি ফার্মিয়ন একই নিশ্চল অবস্থা দখল করতে পারে না।সাধারণত  শক্তিতে নিশ্চল অবস্থা স্বতন্ত্র হতে হবে।পুরো ব্যবস্থার ভুমি অবস্থা বের করতে,আমরা একটা খালি ব্যবস্থা নিয়ে শুরু করতে পারি,একবারে একটি কণা যোগ করে নিম্ন শক্তিতে অনধিকৃত নিশ্চল অবস্থা ক্রমান্বয়ে পূর্ণ করতে হবে। যখন সব কণা রাখা হয়ে যাবে,সর্বোচ্চ অধিকৃত অবস্থার গতিশক্তি হবে ফার্মি শক্তি। 

এর মানে হল আমরা যদি পরম শূন্য তাপমাত্রার কাছাকাছি তাপমাত্রায় ফার্মি গ্যাস ঠান্ডা করে সকল সম্ভব্য শক্তি বের করে নেই,ফার্মিয়নগুলো তখনো সর্বোচ্চ গতিতে ঘুরবে। সবচেয়ে দ্রুতগতিশীল ফার্মিয়ন ফার্মি শক্তির সমতুল্য গতিশক্তির অনুরূপ বেগ নিয়ে ঘুরবে। একে ফার্মি বেগ বলে। পরম শূন্য তাপমাত্রার থেকে ফার্মি তাপমাত্রার অধিক তাপমাত্রায় ইলেকট্রন উল্লেখযোগ্য দ্রুতগতিতে ঘোরা শুরু করবে। 

অতিপরিবাহিতা এবং ধাতুর কঠিন অবস্থার পদার্থবিজ্ঞান এ ফার্মি শক্তি একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। নিম্ন তাপমাত্রার হিলিয়ামের মত(স্বাভাবিক ও অতিপ্রবাহী  ³He উভয়ই) এবং নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান ও মহাকর্ষীয় ধসের বিরুদ্ধে  শ্বেত বামন এর স্থায়িত্ব বোঝার জন্য এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। 

একমাত্রিক বর্গ কূপের ধারণার উদাহরণ

এক মাত্রিক বক্স এর মডেল হল দৈর্ঘ্য L এর এক-মাত্রিক অসীম বর্গ কূপ। একক কণা সামধানের জন্য কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এটা আদর্শ মডেল-ব্যবস্থা। স্তর গুলো একক কোয়ান্টাম সংখ্যা n এবং শক্তি 

$E_{n}=E_{0} {\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.\,$

সূচিত করা হয় যেখানে $E_{0}$ হল বক্সের মধ্যে বিভবশক্তি স্তর।

এখন ধরা যাক বক্সের মধ্যে একটি কণার বদলে N সংখ্যক কনা আছে এবং কণাগুলো ১/২ ঘূর্ণন এর ফার্মিয়ন। কমপক্ষে দুটি কণার একই শক্তি আছে অর্থাৎ দুটি কণার শক্তি  $E_{1}$, অপর দুটির $E_{2}$ এবং এইভাবে। দুটি কণার একই শক্তির কারণ হল একটি কণার স্পিন ১/২ বা -১/২ হতে পারে যা প্রতিটি শক্তি স্তরের জন্য দুটি অবস্থা নির্দেশ করে।এই কারণে মোট শক্তি হবে সর্বনিম্ন(ভুমি অবস্থা), n = N/2 পর্যন্ত শক্তিস্তর অধিকৃত হবে এবং সকল উচ্চ স্তর ফাঁকা থাকবে।

 $E_{0}$,ফার্মি শক্তি হতে হবে, 

$E_{F}=E_{N/2}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}(N/2)^{2},$

বিজোড় সংখ্যক ইলেকট্রন এর জন্য (N − 1), জোড় সংখ্যক ইলেকট্রন এর জন্য (N)।

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে

ত্রিমাত্রিক আইসোট্রপিক ক্ষেত্র ফার্মি গোলক হিসাবে পরিচিত।

এখন পার্শ্ব দৈর্ঘ্য L বিশিষ্ট একটি ত্রিমাত্রিক ঘনক বিবেচনা করি। এটা ধাতুতে ইলেকট্রন এর বর্ণনার জন্য একটি ভাল অনুমান।  

 তিনটি কোয়ান্টাম সংখ্যা n_x, n_y, ও n_z দ্বারা স্তরগুলো সূচিত করা হল।একক কণা শক্তি হল (এখানে  m হল ফার্মিয়ন,এইক্ষেত্রে ইলেকট্রনের ভর)

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0} {\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2} n_{y}^{2} n_{z}^{2}\right)\,$

n_x, n_y, n_z হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। একই শক্তির একাধিক অবস্থা আছে,যেমন  $E_{211}=E_{121}=E_{112}$

১/২ স্পিনের মিথষ্ক্রিয়াহীন  N  ফার্মিয়ন বক্সের মধ্যে দেয়া হল।ফার্মি শক্তি হিসাব করার জন্য  N এর মান বড় বিবেচনা করি।

 ${\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$ ভেক্টর বিবেচনা করি,তাহলে প্রতিটি কোয়ান্টাম অবস্থা সংশ্লিষ্ট 'n-space' বিন্দুতে শক্তি 

$E_{\vec {n}}=E_{0} {\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}\,$

 $|{\vec {n}}|^{2}$ হল স্বাভাবিক ইউক্লিডান দৈর্ঘ্যের বর্গ $({\sqrt {n_{x}^{2} n_{y}^{2} n_{z}^{2}}})^{2}$ EF    E0  এর চেয়ে কম শক্তির অবস্থার সংখ্যা n-space এলাকায়   $|{\vec {n}}_{F}|$  ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের মধ্যে থাকা অবস্থার সংখ্যার সমান যেখানে nx, ny, nz ধনাত্মক। ভুমি অবস্থায় এই সংখ্যা ফার্মিয়নের সংখ্যার সমান। 

$N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{F}^{3}\,$

ভরবেগ স্পেসে নিম্ন শক্তি অবস্থার মুক্ত ফার্মিয়ন, গোলক গঠন করে।গোলকের তল হল ফার্মি তল। 

২ হল দুটি স্পিন অবস্থার জন্য এবং ১/৮ হল গোলকের ১/৮ অংশ যেখানে সকল n ধনাত্মক।আমরা পাই,

$n_{F}=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}$

সুতরাং ফার্মি শক্তি হবে, 

$E_{F}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{F}^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}$

যা প্রতি একক আয়তনে কণার সংখ্যা ও ফার্মি শক্তির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করবে,যখন L² কে V^2/3 দ্বারা প্রতিস্থাপিত করবঃ  

$E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}\,$

 $N$ ফার্মিয়নের ফার্মি গোলকের মোট শক্তি হবে,

$E_{t}=NE_{0} \int _{0}^{N}E_{F}\,dN^{\prime }=\left({\frac {3}{5}}E_{F} E_{0}\right)N$

অতএব, ইলেকট্রনের মোট শক্তি:  

$E_{\mathrm {av} }=E_{0} {\frac {3}{5}}E_{F}$

সংশ্লিষ্ট রাশি

ফার্মি শক্তির সংজ্ঞা ব্যবহার করে,বিভিন্ন রাশির ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। ফার্মি তাপমাত্রা হল,

$T_{F}={\frac {E_{F}}{k_{B}}}$

যেখানে $k_{B}$ হল বোলট্জম্যান ধ্রুবক এবং  $E_{F}$ হল ফার্মি শক্তি। ফার্মি পরিসংখ্যান সম্পর্কিত কোয়ান্টাম প্রভাবের সাথে ফার্মি তাপমাত্রার তাপ প্রভাবকে তুলনা করা যায়।.  কক্ষ তাপমাত্রার উপরে ধাতুর জন্য ফার্মি তাপমাত্রা হল  জোড় ক্রমের মান (a couple of orders of magnitude)।

এই প্রসংগের অন্যান্য মান গুলো হল ফার্মি ভরবেগ ও ফার্মি বেগঃ

$p_{F}={\sqrt {2m_{e}E_{F}}}$

$v_{F}={\frac {p_{F}}{m_{e}}}$

যেখানে $m_{e}$ হল ইলেকট্রনের ভর। এই রাশি গুলো হল ফার্মি তলে ফার্মিয়নের যথাক্রমে ভরবেগ এবং দলীয় বেগ। $p_{F}=\hbar k_{F}$, ফার্মি ভরবেগ এভাবেও প্রকাশ করা যায় যেখানে  $k_{F}$ ফার্মি গোলকের ব্যাসার্ধ এবং একে ফার্মি তরঙ্গ ভেক্টর বলে।.

গোলাকার নয় এমন ফার্মি তলে এই রাশি গুলোকে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না।In the case of the quadratic dispersion relations given above, they are given by:

অবাধ মাত্রার ক্ষেত্রে

 $d$ মাত্রায় আয়তন সমাকলন ব্যবহার করে আমরা তল ঘনত্ব পেতে পারি:

$g(E)=d_{j}\int {\frac {d^{d}{\vec {k}}}{(2\pi )^{d}/V}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m}}\right)=V{\frac {d\,m^{d/2}(E-E_{0})^{d/2-1}}{(2\pi )^{d/2}\ \Gamma (d/2 1)\hbar ^{d}}}{\frac {d_{j}}{2}}$

কণার সংখ্যা আমরা ফার্মি শক্তি থেকে বের করতে পারি: $n=\int _{E_{0}}^{E_{0} E_{F}}g(E)\,dE$ 

$E_{F}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{d_{j}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}} 1\right)n\right)^{2/d}$

যেখানে $d_{j}$ হল আন্তঃহিলবার্ট স্পেসের জন্য মাত্রা।  

বৈশিষ্টসূচক ফার্মি শক্তি

শ্বেত বামন

শ্বেত বামন হিসাবে পরিচিত তারাদের ভর আমাদের সূর্য এর সাথে তুলনা করা গেলেও আকার পৃথিবীর সমান। উচ্চ ঘনত্বের মানে হল ইলেকট্রন একক নিউক্লিয়াসের সাথে যুক্ত হওয়ার পরিবর্তে অপজাত ইলেকট্রন গ্যাসের আকার নেয়। শ্বেত বামনে ইলেকট্রনের ঘনত্ব হল প্রতি ঘন একক আয়তনে 10³⁶ টি ইলেকট্রন।তাদের ফার্মি শক্তি হবে:

$E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV}$

নিউক্লিয়াস

আরেকটি বৈশিষ্টসূচক উদাহরণ হল একটি অনুর নিউক্লিয়াসে কণা।নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধ মোটামুটি:

$R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}$

যেখানে A হল নিউক্লিয়ন  এর সংখ্যা।

নিউক্লিয়াসের নিউক্লিয়ন ঘনত্ব:

$n={\frac {A}{{\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m} ^{-3}$

এখন যেহেতু একই ধরনের ফার্মিয়নের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য,তাই এই ঘনত্বকে ২ দিয়ে ভাগ দিতে হবে,কারণ প্রোটন এর ফার্মি শক্তির উপর নিউট্রন এর প্রভাব নেই,

নিউক্লিয়াসে ফার্মি শক্তি হবে:

$E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{p}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV}$

উপরে উল্লেখিত নিউক্লিয়াসের ব্যাসার্ধের মানের বিচ্যুতি আছে,তাই সাধারণভাবে ৩৮ MeV ফার্মি শক্তি প্রয়োগ করা হয় 

আরও দেখুন

• Fazia
• ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান: অ-শূন্য তাপমাত্রায় মিথষ্ক্রিয়াহীন ফার্মিয়নের জন্য নিশ্চল অবস্থানে ইলেকট্রনের বণ্টন।

তথ্যসূত্র

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (১৯৮০)। Thermal Physics (2nd ed.)। W. H. Freeman Company। আইএসবিএন 0-7167-1088-9। 
• Table of Fermi energies, velocities, and temperatures for various elements.