Уравнения на Навие-Стокс

Уравненията на Навие-Стокс е система от частни диференциални уравнения, описваща движението на вискозен Нютонов флуид. Уравненията на Навие-Стокс са едни от най-важните в хидродинамиката и се прилагат в математическото моделиране на много природни явления и технически задачи. Носят имената на френския физик Анри Навие и британския математик Джордж Стокс.

Системата се състои от две уравнения:

• уравнение на движението,
• уравнение за непрекъснатост.

Те се записват по следния начин във векторна форма (в случай на несвиващ се флуид):

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}} \nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p {\vec {f}},$

$\nabla \cdot {\vec {v}}=0,$

където $\nabla$ е операторът на Хамилтон, $\Delta$ — оператор на Лаплас, $t$ — време, $\nu$ — коефициент на кинематичен вискозитет, $\rho$ — плътност, $p$ — налягане, ${\vec {v}}=(v^{1},\dots ,v^{n})$ — векторно поле на скоростите, ${\vec {f}}$ — векторно поле на силите, въздействащи на масата. Неизвестните $p$ и ${\vec {v}}$ са функции на времето $t$ и координатата $x\in \Omega$, където $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$, $n=2,3$ е плоска или триизмерна област, в която се движи флуидът. Обикновено към системата уравнения на Навие-Стокс се добавят гранични и начални условия, например

${\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,$

${\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.$

Понякога към системата уравнения на Навие-Стокс се включват допълнително и уравнението за топлопроводност и уравнението на състоянието.

Ако се отчете свиването на флуида, уравненията на Навие-Стокс придобиват следния вид:

$\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}} v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}\, \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\{\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}} {\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{i,k}\,{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}\, \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\zeta \,{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{i,k}\,\right),$

където $\mu$ е коефициентът на динамичен вискозитет, $\zeta$ – „втори вискозитет“.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Уравнения Навье—Стокса“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​