Верижна дроб

Верижна дроб или продължаваща дроб в математиката в общия случай означава израз от вида

$x=a_{0} {\cfrac {b_{0}}{a_{1} {\cfrac {b_{1}}{a_{2} {\cfrac {b_{2}}{a_{3} {\cfrac {b_{3}}{\ddots \,}}}}}}}},$ или в обикновения случай при $b_{i}=1$ $x=a_{0} {\cfrac {1}{a_{1} {\cfrac {1}{a_{2} {\cfrac {1}{a_{3} {\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}},$

където $a_{0}$ е цяло число $a_{0}\in \mathbb {Z}$, а останалите $a_{i}$ и $b_{i}$ са положителни цели числа $a_{i},b_{i}\in \mathbb {N}$ за $i\in \mathbb {N}$. Числата $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ и $b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},\cdots$ се наричат елементи на верижната дроб. Дробите ${\tfrac {b_{i}}{a_{i}}}$ и ${\tfrac {1}{a_{i}}}$ се наричат ​​частични дроби, $b_{i}$ се нарича $i$-ти частичен числител и $a_{i}$ се нарича $i$-ти частичен знаменател. Частичните числители и частичните знаменатели също се наричат ​​елементи на продължаващата дроб (след Оскар Перон, 1975).

Всяко реално число може да бъде представено във вид на верижна дроб (крайна или безкрайна). Числото представлява крайна верижна дроб тогава и само тогава, когато то е рационално. Безкрайната верижна дроб се нарича още непрекъсната дроб.

Главната (но не единствена) полза от верижните дроби се състои в това, че те позволяват да се намерят добри приближения на реални числа във вид на обикновени дроби. Верижните дроби се използват широко в теорията на числата и изчислителната математика. Използват се също така във физиката, небесната механика, техниката и други сфери. нотация

Обозначаване

Нотации

Използват се различни нотации за обозначаване на верижни дроби.

Съкратеното обозначаване на обща верижна дроб е

$a_{0} {\frac {b_{1}|}{|a_{1}}} {\frac {b_{2}|}{|a_{2}}} {\frac {b_{3}|}{|a_{3}}} \cdots$

Въз основа на символите за сума $\sum$ и произведение $\textstyle \prod$, Гаус също въвежда следната нотация за това:

$a_{0} {\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}\,.$

Правилната верижна дроб често се записва по следния начин:

$[a_{0};a_{1},a_{2},\dotsc ],$

тук само $a_{0}$ е посочен отделно, защото е от $\mathbb {Z}$, но следващите $a_{i}$ са винаги само от $\mathbb {N}$.

Обозначаването на крайни непрекъснати дроби е съответно

$a_{0} {\frac {b_{1}|}{|a_{1}}} {\frac {b_{2}|}{|a_{2}}} \cdots {\frac {b_{n}|}{|a_{n}}}\,,\quad a_{0} {\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}\,,\quad [a_{0};a_{1},\dotsc ,a_{n}]\,.$

Представяне като композиция от образи

Продължаващата дроб може също да се представи като композиция от образи $T_{i}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Това дава по-формално определение от даденото по-рано.

За да се направи това, задава се $T_{i}(x)={\tfrac {b_{i}}{a_{i} x}}$ и се взема

$a_{0} {\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i}}{a_{i}}}:=a_{0} T_{1}\circ T_{2}\circ \cdots \circ T_{n-1}\circ T_{n}(0).$

Дефиницията на безкрайни последователни дроби се прави чрез разглеждане на граничните стойности в раздела Безкрайни последователни дроби.

Образуване

Верижната дроб се образува чрез итеративен процес на представяне на число като сбор от неговата цяла част и реципрочна стойност на друго число, след което записването на това друго число като сума от неговата цяла част и друга реципрочна стойност, и така нататък. В крайна верижна дроб (или прекратена продължителна дроб) итерацията/рекурсията се прекратява след ограничен брой стъпки чрез използване на цяло число вместо друга верижна дроб. При безкрайната верижна дроб този процес продължава и тя е безкраен израз. И в двата случая всички цели числа в редицата, различни от първото, трябва да са положителни.

Всяко реално число $x$ може да бъде представено чрез (крайна или безкрайна, периодична или непериодична) верижна дроб $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$, където

$a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},$

$a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},$

$\dots$

$a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},$

$\dots$

долните скобки $\lfloor x\rfloor$ обозначават цялата част на числото $x$.

За рационално число $x$ това разширение завършва, когато $x_{n}$ достигне нула за някои $n$. В този случай $x$ е представено от крайна продължителна дроб $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$. Един ефективен алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в непрекъсната дроб е алгоритъмът на Евклид. Представянето на рационално число като непрекъсната дроб е двусмислено: ако алгоритъмът, даден тук, дава непрекъснатата дроб $[\dots ,a_{n}]$, тогава верижната дроб $[\dots ,a_{n}-1,1]$ съответства на същото число.

Като пример се разглежда рационалното число 415/93, което е около 4,4624. Като първо приближение се започва с 4, което е цяло число; 415/93 = 4 43/93. Дробната част е реципрочната на 93/43, което е около 2,1628. Използва се цялата част 2 като приближение за реципрочната стойност, за да се получи второ приближение на 4 1/2 = 4,5. Сега 93/43 = 2 7/43; останалата дробна част 7/43 е реципрочната стойност на 43/7, а 43/7 е около 6,1429. Използва се 6 като приближение за да се получи 2 1/6 като приближение за 93/43 и 4 12 16, около 4,4615, като трето приближение. Освен това, 43/7 = 6 1/7. И накрая, дробната част, 1/7, е реципрочната на 7, така че нейното приближение в тази схема 7 е точно (7/1 = 7 0/1) и дава точния израз 4 12 16 17 за 415/93.

Подходящи дроби

$n$-та подходяща дроб за верижната дроб $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ се нарича крайна продължителна дроб $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$, чиято стойност е някакво рационално число $p_{n}/q_{n}$. Подходящите дроби с четни номера образуват нарастваща последователност, чиято граница е $x$. По същия начин подходящите дроби с нечетни номера образуват намаляваща последователност, чиято граница също е $x$. По този начин стойността на верижната дроб винаги е между стойностите на съседни подходящи дроби.

Ойлер е извел следните рекурентни формули за изчисляване на числителите и знаменателите на подходящи дроби:

$p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1} p_{n-2};$

$q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1} q_{n-2}.$

По този начин величините $p_{n}$ и $q_{n}$ са многочлени от $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$, наречени континуанти:

$p_{n}=K_{n 1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),$

$q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).$

Последователностите както на числителите $\{p_{n}\}$, така и на знаменателите $\{q_{n}\}$ на подходящи дроби са строго нарастващи.

Числителите и знаменателите на съседни подходящи дроби са свързани с отношението

Подходящи дроби за златното сечение

$p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.$

(1)

От тук се вижда, че подходящите дроби винаги са несъкратими. Разделя се равенство (1) на $q_{n-1}q_{n}$ и то добива вида

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.$

От това следва, че

$\left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.$

Изображението показва как подходящи дроби за златното сечение се доближават до него с увеличаване на номера на дробта. Дробите с нечетни номера се доближават до златното сечение отгоре, дробите с четни номера се доближават до него отдолу.