Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics.
Les matrius són valors agrupats com si fossin dins d'una quadrícula rectangular.
Exemples de matrius segons el tipus de nombres i possible procedència.
Matriu de nombres binaris:
(
1
0
1
1
0
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}}
Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris:
(
1
−
1
5
3
2
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {3}{2}}&0\end{pmatrix}}}
Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals:
(
π
0
0
e
−
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\pi &0\\0&e\\-1&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}
Podrien aparèixer només en problemes molt particulars.
Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes
a
i
j
{\displaystyle a_{i\,j}}
[ 1]
A
=
(
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
1
4
⋯
a
1
n
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
2
4
⋯
a
2
n
a
3
1
a
3
2
a
3
3
a
3
4
⋯
a
3
n
a
4
1
a
4
2
a
4
3
a
4
4
⋯
a
4
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
a
m
4
⋯
a
m
n
)
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&\cdots &a_{1\,n}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&\cdots &a_{2\,n}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&\cdots &a_{3\,n}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&\cdots &a_{4\,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&a_{m\,2}&a_{m\,3}&a_{m\,4}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}=(a_{i\,j})_{m\times n}}
En direm matriu de dimensió
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
, els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. El conjunt de totes les matrius
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
M
m
×
n
.
{\displaystyle M_{m\times n}.}
Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . 1) Donada una matriu
4
×
5
{\displaystyle 4\times 5}
A
=
(
2
0
0
−
1
0
0
3
0
6
0
−
5
4
8
10
2
0
7
0
−
4
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&0&0&-1&0\\0&3&0&6&0\\-5&4&8&10&2\\0&7&0&-4&0\end{pmatrix}}}
=
(
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
1
4
a
1
5
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
2
4
a
2
5
a
3
1
a
3
2
a
3
3
a
3
4
a
3
5
a
4
1
a
4
2
a
4
3
a
4
4
a
4
5
)
=
(
a
i
j
)
4
×
5
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&a_{1\,5}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&a_{2\,5}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&a_{4\,5}\end{pmatrix}}=(a_{i\;j})_{4\times 5}}
Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: Matrius columna
c
4
(
A
)
=
(
−
1
6
10
−
4
)
{\displaystyle c_{4}(A)={\begin{pmatrix}-1\\6\\10\\-4\end{pmatrix}}}
=
(
a
1
4
a
2
4
a
3
4
a
4
4
)
=
(
a
i
4
)
4
.
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\a_{2\,4}\\a_{3\,4}\\a_{4\,4}\end{pmatrix}}=(a_{i\,4})_{4}.}
Matriu fila
f
3
(
A
)
=
(
−
5
4
8
10
2
)
{\displaystyle f_{3}(A)={\begin{pmatrix}-5&4&8&10&2\end{pmatrix}}}
=
(
a
3
1
a
3
2
a
3
3
a
3
4
a
3
5
)
=
(
a
3
j
)
5
.
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\end{pmatrix}}=(a_{3\;j})_{5}.}
Elements de la diagonal són els elements
(
a
i
i
)
{\displaystyle (a_{i\,i})}
a
1
1
=
2
,
{\displaystyle a_{1\,1}=2,}
a
2
2
=
3
,
{\displaystyle a_{2\,2}=3,}
a
3
3
=
8
{\displaystyle a_{3\,3}=8}
a
4
4
=
−
4.
{\displaystyle a_{4\,4}=-4.}
Matriu transposada és la matriu resultant de convertir totes les columnes
c
i
{\displaystyle c_{i}}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
a
i
j
{\displaystyle a_{i\,j}}
b
j
i
{\displaystyle b_{j\,i}}
(
2
0
−
5
0
0
3
4
7
0
0
8
0
−
1
6
10
−
4
0
0
2
0
)
=
(
b
i
j
)
5
×
4
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&-5&0\\0&3&4&7\\0&0&8&0\\-1&6&10&-4\\0&0&2&0\end{pmatrix}}=(b_{i\,j})_{5\times 4}}
2) Matrius quadrades si
m
=
n
{\displaystyle m=n}
Matriu diagonal si fora de la diagonal són tots zeros:
(
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}
Matriu triangular superior si sota la diagonal són tots zeros:
(
3
−
3
1
0
0
0
−
2
0
−
3
−
3
0
0
0
8
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
−
7
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-3&1&0&0\\0&-2&0&-3&-3\\0&0&0&8&1\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&-7\end{pmatrix}}}
Matriu triangular inferior si sobre la diagonal són tots zeros:
(
−
3
0
0
0
0
0
2
0
0
0
−
2
1
1
0
0
0
−
5
0
2
0
2
7
2
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-3&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\-2&1&1&0&0\\0&-5&0&2&0\\2&7&2&0&0\end{pmatrix}}}
Matriu simètrica si els elements
a
i
j
=
a
j
i
:
{\displaystyle a_{i\,j}=a_{j\,i}:}
(
0
3
5
8
−
4
3
−
4
1
−
1
−
5
5
1
0
4
2
8
−
1
4
−
2
9
−
4
−
5
2
9
−
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&3&5&8&-4\\3&-4&1&-1&-5\\5&1&0&4&2\\8&-1&4&-2&9\\-4&-5&2&9&-3\end{pmatrix}}}
Matriu antisimètrica si els elements
a
i
j
=
−
a
j
i
:
{\displaystyle a_{i\,j}=-a_{j\,i}:}
(
−
7
−
3
−
5
−
8
4
3
1
−
1
0
5
5
1
1
−
4
−
2
8
0
4
1
−
9
−
4
−
5
2
9
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-7&-3&-5&-8&4\\3&1&-1&0&5\\5&1&1&-4&-2\\8&0&4&1&-9\\-4&-5&2&9&1\end{pmatrix}}}
3) Matriu zero o nul·la si tots els elements són zeros i el seu no és excepcionalment 0:
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
=
0
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}=0}
Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera.
Estalviarem escriur termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem
(
a
1
1
…
a
1
8
)
{\displaystyle (a_{1\,1}\;\dots \;a_{1\,8})}
(
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
1
4
a
1
5
a
1
6
a
1
7
a
1
8
)
.
{\displaystyle (a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).}
Suma de dues matrius A i B es defineix per:
A
B
{\displaystyle A B}
=
(
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
)
(
b
1
1
⋯
b
1
n
⋮
⋱
⋮
b
m
1
⋯
b
m
n
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m\,1}&\cdots &b_{m\,n}\end{pmatrix}}}
=
(
a
1
1
b
1
1
⋯
a
1
n
b
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
b
m
1
⋯
a
m
n
b
m
n
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1\,1} b_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n} b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1} b_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n} b_{m\,n}\end{pmatrix}}}
=
(
a
i
j
b
i
j
)
{\displaystyle =(a_{i\,j} b_{i\,j})}
Propietats:
Propietat associativa: A (B C)=(A B) C, en aquest cas podem escriure simplement A B C.
Propietat commutativa: A B=B A.
Element neutre: A 0=A, en aquest cas direm que 0 és l'element zero.
Element invers: Donat A, existeix un element -A tal que A (-A)=0, en aquest cas direm element oposat o negatiu.
D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.[ 2]
1)
=
(
1
0
−
2
1
)
(
0
2
0
1
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}}}
=
(
1
0
0
2
−
2
0
1
1
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1 0&0 2\\-2 0&1 1\end{pmatrix}}}
=
(
1
2
−
2
2
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&2\\-2&2\end{pmatrix}}}
Producte per escalar [ edit ] Producte d'una constant k per una matriu A es defineix per:
k
⋅
A
{\displaystyle k\cdot A}
=
k
⋅
(
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle =k\cdot {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}}
=
(
k
⋅
a
1
1
⋯
k
⋅
a
1
n
⋮
⋱
⋮
k
⋅
a
m
1
⋯
k
⋅
a
m
n
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1}&\cdots &k\cdot a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\k\cdot a_{m\,1}&\cdots &k\cdot a_{m\,n}\end{pmatrix}}}
=
(
k
⋅
a
i
j
)
{\displaystyle =(k\cdot a_{i\,j})}
Propietats:
Propietat distributiva respecte la suma de matrius: a(A B)=aA aB.
Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: (a b)A=aA bA.
Propietat associativa: (a\cdot b)A=a(b\cdot A).
Element neutre respecte el producte: 1*A=A, l'anomenarem element unitat o u.
Producte de matrius [ edit ] Producte d'una matriu fila (f)
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
[ 3]
A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B}
=
(
a
1
⋯
a
n
)
⋅
(
b
1
⋮
b
n
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
=
f
(
A
)
⋅
c
(
B
)
{\displaystyle =f(A)\cdot c(B)}
=
a
1
⋅
b
1
…
a
n
⋅
b
n
{\displaystyle =a_{1}\cdot b_{1} \ldots a_{n}\cdot b_{n}}
=
d
.
{\displaystyle =d.}
Producte d'una matriu nxp per una matriu pxm donant una matriu nxm:
A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B}
=
(
a
1
1
⋯
a
1
p
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
p
)
⋅
(
b
1
1
⋯
b
1
m
⋮
⋱
⋮
b
p
1
⋯
b
p
m
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,p}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p\,1}&\cdots &b_{p\,m}\end{pmatrix}}}
=
(
f
1
(
A
)
⋅
c
1
(
B
)
⋯
f
1
(
A
)
⋅
c
m
(
B
)
⋮
⋱
⋮
f
n
(
A
)
⋅
c
1
(
B
)
⋯
f
n
(
A
)
⋅
c
m
(
B
)
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}f_{1}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{1}(A)\cdot c_{m}(B)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{n}(A)\cdot c_{m}(B)\end{pmatrix}}}
=
(
d
1
1
⋯
d
1
m
⋮
⋱
⋮
d
n
1
⋯
d
n
m
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}d_{1\,1}&\cdots &d_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n\,1}&\cdots &d_{n\,m}\end{pmatrix}}}
Propietats:
No sempre commuta el producte de matrius
A
B
≠
B
A
{\displaystyle AB\neq BA}
Propietat associativa: A(BC)=(AB)C
Propietat distributiva: A(B C)=AB AC, (A B)C=AC BC.
Element neutre:
I
1
A
=
A
I
2
=
A
{\displaystyle I_{1}A=AI_{2}=A}
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
2
{\displaystyle I_{2}}
Exemple d'una matriu identitat de dimensió 5.
(
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}
Parlarem invers si donat A podem obtenir
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
A
A
−
1
=
A
−
1
A
=
I
{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I}
Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim
A
m
n
⋅
X
=
B
,
{\displaystyle A_{mn}\cdot X=B,}
(
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
)
⋅
(
x
1
⋮
x
n
)
=
(
b
1
⋮
b
m
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
a
1
1
⋅
x
1
⋯
a
1
n
⋅
x
n
=
b
1
⋮
⋮
⋮
a
m
1
⋅
x
1
⋯
a
m
n
⋅
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{1\,n}\cdot x_{n}&=b_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{m\,n}\cdot x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}
Direm que el l'equació
A
m
n
⋅
X
=
B
{\displaystyle A_{mn}\cdot X=B}
[ edit ] Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior:
(
2
1
−
3
5
−
4
0
−
1
3
−
2
2
0
0
−
3
0
1
0
0
0
1
−
2
0
0
0
0
4
)
⋅
(
x
y
z
t
s
)
=
(
0
0
0
−
2
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&-3&5&-4\\0&-1&3&-2&2\\0&0&-3&0&1\\0&0&0&1&-2\\0&0&0&0&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-2\\4\end{pmatrix}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
2
x
y
−
3
z
5
t
−
4
s
=
0
−
y
3
z
−
2
t
2
s
=
0
−
3
z
0
t
s
=
0
t
−
2
s
=
−
2
4
s
=
4
{\displaystyle {\begin{matrix}2x y-3z 5t-4s&=0\\\;\;\;\;\;-y 3z-2t 2s&=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z 0t s&=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s&=-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s&=4\end{matrix}}}
Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació:
4
s
=
4
{\displaystyle 4s=4}
⇒
s
=
1
{\displaystyle \Rightarrow s=1}
t
−
2
s
=
−
2
{\displaystyle t-2s=-2}
⇒
t
−
2
(
1
)
=
−
2
{\displaystyle \Rightarrow t-2(1)=-2}
⇒
t
=
0
{\displaystyle \Rightarrow t=0}
−
3
z
0
t
s
=
0
{\displaystyle -3z 0t s=0}
⇒
−
3
z
0
(
0
)
(
1
)
=
0
{\displaystyle \Rightarrow -3z 0(0) (1)=0}
⇒
z
=
1
3
{\displaystyle \Rightarrow z={\tfrac {1}{3}}}
−
y
3
z
−
2
t
2
s
=
0
{\displaystyle -y 3z-2t 2s=0}
⇒
−
y
3
(
1
3
)
−
2
(
0
)
2
(
1
)
=
0
{\displaystyle \Rightarrow -y 3\left({\tfrac {1}{3}}\right)-2(0) 2(1)=0}
⇒
y
=
3
{\displaystyle \Rightarrow y=3}
2
x
y
−
3
z
5
t
−
4
s
=
0
{\displaystyle 2x y-3z 5t-4s=0}
⇒
2
x
(
3
)
−
3
(
1
3
)
5
(
0
)
−
4
(
1
)
=
0
{\displaystyle \Rightarrow 2x (3)-3\left({\tfrac {1}{3}}\right) 5(0)-4(1)=0}
⇒
x
=
1
{\displaystyle \Rightarrow x=1}
Per tant la solució és
(
x
y
z
t
s
)
=
(
1
3
1
3
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\{\tfrac {1}{3}}\\0\\1\end{pmatrix}}.}
Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents:
1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. 1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. 2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. 3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució.
Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z.
5
x
y
−
7
z
=
11
2
x
−
5
y
3
z
=
4
x
−
2
y
z
=
3
}
{\displaystyle {\begin{matrix}5x y-7z=11\\2x-5y 3z=4\\x-2y z=3\end{matrix}}{\Bigg \}}}
El primer pas és reordenar les equacions
e
q
1
↔
e
q
3
{\displaystyle eq_{1}\leftrightarrow eq_{3}}
x
−
2
y
z
=
3
2
x
−
5
y
3
z
=
4
5
x
y
−
7
z
=
11
}
{\displaystyle {\begin{matrix}x-2y z=3\\2x-5y 3z=4\\5x y-7z=11\end{matrix}}{\Bigg \}}}
→
e
q
2
−
2
⋅
e
q
1
x
−
2
y
z
=
3
0
−
y
z
=
−
2
5
x
y
−
7
z
=
11
}
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{2}-2\cdot eq_{1}\;\;} {\begin{matrix}x-2y z=3\\\;\;0-y\; z=-2\\5x y-7z=11\end{matrix}}{\Bigg \}}}
→
e
q
3
−
5
⋅
e
q
1
x
−
2
y
z
=
3
0
−
y
z
=
−
2
0
11
y
−
12
z
=
−
4
}
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{3}-5\cdot eq_{1}\;\;} {\begin{matrix}x\;-2y \;z\;=3\;\;\;\\0\;\;-y\; \;z\;=-2\\0 11y-12z=-4\end{matrix}}{\Bigg \}}}
→
e
q
3
11
⋅
e
q
2
x
−
2
y
z
=
3
0
−
y
z
=
−
2
0
0
−
z
=
−
26
}
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{3} 11\cdot eq_{2}\;\;} {\begin{matrix}x-2y z=3\;\;\;\\0\;-y\; z=-2\\0\; 0-z=-26\end{matrix}}{\Bigg \}}}
Ara ja podem resoldre els sistema:
z
=
26
{\displaystyle z=26}
−
y
z
=
−
2
{\displaystyle -y z=-2}
→
−
y
(
26
)
=
−
2
{\displaystyle \rightarrow -y (26)=-2}
→
y
=
28
{\displaystyle \rightarrow y=28}
x
−
2
y
z
=
3
{\displaystyle x-2y z=3}
→
x
−
2
(
28
)
(
26
)
=
3
{\displaystyle \rightarrow x-2(28) (26)=3}
→
x
=
33
{\displaystyle \rightarrow x=33}
Per tant els sistema té una única solució
(
26
,
28
,
33
)
.
{\displaystyle (26,28,33).}
El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:[ 4]
1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. 2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. 3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va conseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes.
Determinant de matrius 2x2 [ edit ] Signatura El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així:
det
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
=
a
d
−
c
b
.
{\displaystyle =ad-cb.}
La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut.
det
(
1
3
5
8
)
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&3\\5&8\end{pmatrix}}}
=
|
1
3
5
8
|
{\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&3\\5&8\end{vmatrix}}}
=
1
⋅
8
−
3
⋅
5
{\displaystyle =1\cdot 8-3\cdot 5}
=
−
7.
{\displaystyle =-7.}
Determinant de matrius 3x3 [ edit ] Signatura alternativa. El determinant d'una matriu 3x3 fem:
det
(
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
)
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a_{1\;1}&a_{1\;2}&a_{1\;3}\\a_{2\;1}&a_{2\;2}&a_{2\;3}\\a_{3\;1}&a_{3\;2}&a_{3\;3}\end{pmatrix}}}
=
a
1
1
a
2
2
a
3
3
a
1
2
a
2
3
a
3
1
a
1
3
a
2
1
a
3
2
−
(
a
1
3
a
2
2
a
3
1
a
1
2
a
2
1
a
3
3
a
1
1
a
2
3
a
3
2
)
.
{\displaystyle =\color {blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3} a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1} a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color {black}{-(}\color {red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1} a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3} a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color {black}{).}}
La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions
det
(
1
2
3
4
5
6
7
8
−
1
)
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{pmatrix}}}
=
|
1
2
3
4
5
6
7
8
−
1
|
{\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{vmatrix}}}
=
1
⋅
5
⋅
(
−
1
)
2
⋅
6
⋅
7
4
⋅
8
⋅
3
−
(
3
⋅
5
⋅
7
2
⋅
4
⋅
(
−
1
)
6
⋅
8
⋅
1
)
{\displaystyle =1\cdot 5\cdot (-1) 2\cdot 6\cdot 7 4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7 2\cdot 4\cdot (-1) 6\cdot 8\cdot 1)}
=
−
5
84
96
−
(
105
−
8
48
)
{\displaystyle =-5 84 96-(105-8 48)}
=
175
−
(
142
)
=
33.
{\displaystyle =175-(142)=33.}
Determinant de matrius nxn [ edit ] Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles:
1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes.
Exemple:
2
=
|
1
3
0
0
2
0
3
1
1
|
f
2
f
1
{\displaystyle 2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2} f_{1}}}
=
|
1
3
0
1
5
0
3
1
1
|
=
5
−
3
=
2
{\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&3&0\\1&5&0\\3&1&1\end{vmatrix}}=5-3=2}
2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Idem columna.
Exemple:
2
=
|
1
3
0
0
2
0
3
1
1
|
f
2
⋅
5
→
{\displaystyle 2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\cdot 5}\rightarrow }
|
1
5
⋅
3
0
0
5
⋅
2
0
3
5
⋅
1
1
|
=
|
1
15
0
0
10
0
3
5
1
|
=
10
=
2
⋅
5
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&5\cdot 3&0\\0&5\cdot 2&0\\3&5\cdot 1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&15&0\\0&10&0\\3&5&1\end{vmatrix}}=10=2\cdot 5}
3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Idem columna.
Exemple:
2
=
|
1
3
0
0
2
0
3
1
1
|
f
2
↔
f
3
→
{\displaystyle 2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\leftrightarrow f_{3}}\rightarrow }
|
1
3
0
3
1
1
0
2
0
|
=
−
2
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&3&0\\3&1&1\\0&2&0\end{vmatrix}}=-2}
4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Idem columna.
Exemple:
2
=
|
0
5
10
2
0
π
3
0
−
1
12
|
{\displaystyle 2={\begin{vmatrix}0&5&10^{2}\\0&\pi &3\\0&-1&12\end{vmatrix}}}
=
0
{\displaystyle =0}
5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu:
(
−
−
⋯
−
−
−
⋯
−
−
⋯
−
−
−
⋯
−
−
⋯
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix} &-& &-& &\cdots \\-& &-& &-&\cdots \\ &-& &-& &\cdots \\-& &-& &-&\cdots \\ &-& &-& &\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
Exemple:
det
(
A
)
=
|
4
−
3
1
9
0
5
6
1
0
2
0
0
0
3
4
7
|
{\displaystyle \det(A)={\begin{vmatrix}4&-3&1&9\\0&5&6&1\\0&2&0&0\\0&3&4&7\end{vmatrix}}}
=
(
(
4
)
)
|
5
6
1
2
0
0
3
4
7
|
{\displaystyle =( (4)){\begin{vmatrix}5&6&1\\2&0&0\\3&4&7\end{vmatrix}}}
=
(
(
4
)
)
(
−
(
2
)
)
|
6
1
4
7
|
{\displaystyle =( (4))(-(2)){\begin{vmatrix}6&1\\4&7\end{vmatrix}}}
=
4
⋅
(
−
2
)
(
6
⋅
7
−
4
⋅
1
)
=
−
304.
{\displaystyle =4\cdot (-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.}
1)
det
(
A
⋅
B
)
=
det
(
A
)
⋅
det
(
B
)
{\displaystyle \det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)}
2) En general
det
(
A
B
)
≠
det
(
A
)
det
(
B
)
{\displaystyle \det(A B)\neq \det(A) \det(B)}
Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior.
Observació d'una equació lineal.
Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba.
Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació.
Direm que un sistema té rang=r quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només r equacions. Direm que una matriu té rang=r quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només r files. Direm que la matriu associada a un sistema lineal és ampliada si s'afegeix una nova columna corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que rang=r* .
Sistema
a
1
1
⋅
x
1
⋯
a
1
n
⋅
x
n
=
b
1
⋮
⋮
⋮
a
m
1
⋅
x
1
⋯
a
m
n
⋅
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{1\,n}\cdot x_{n}&=b_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{m\,n}\cdot x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
Matriu del sistema
(
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}}
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
Matriu ampliada
(
a
1
1
⋯
a
1
n
b
1
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
b
m
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}&b_{m}\end{pmatrix}}}
Exemple
Donat el següent sistema, calculeu el seu rang:
{
x
−
y
2
u
=
2
y
2
z
−
t
=
2
2
x
−
2
y
2
t
5
u
=
7
−
y
−
2
z
t
u
=
−
1
−
x
y
u
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y 2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;2x-2y\;\;\;\;\;\; 2t 5u=7\\\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z t\;\; u=-1\\-x y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}}
→
e
q
3
−
2
⋅
e
q
2
{
x
−
y
2
u
=
2
y
2
z
−
t
=
2
2
t
u
=
3
−
y
−
2
z
t
u
=
−
1
−
x
y
u
=
1
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{3}-2\cdot eq_{2}\;\;} {\begin{cases}\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y 2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z t u=-1\\-x y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}}
→
e
q
5
e
q
1
{
x
−
y
2
u
=
2
y
2
z
−
t
=
2
2
t
u
=
3
−
y
−
2
z
t
u
=
−
1
3
u
=
3
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{5} eq_{1}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y 2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t u=3\\\;\;\;\;\;-y-2z t u=-1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}}}
→
e
q
4
e
q
2
{
x
−
y
2
u
=
2
y
2
z
−
t
=
2
2
t
u
=
3
u
=
1
3
u
=
3
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{4} eq_{2}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y 2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}}}
→
e
q
5
−
3
⋅
e
q
4
{
x
−
y
2
u
=
2
y
2
z
−
t
=
2
2
t
u
=
3
u
=
1
{\displaystyle \xrightarrow {\;eq_{5}-3\cdot eq_{4}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y 2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}}
←
{\displaystyle \leftarrow }
rang = 4 .
Classificació dels sistemes lineals amb n incògnites.
S
i
s
t
e
m
a
l
i
n
e
a
l
=
{
S
i
s
t
e
m
a
C
o
m
p
a
t
i
b
l
e
S
C
r
=
r
∗
{
S
i
s
t
e
m
a
C
o
m
p
a
t
i
b
l
e
D
e
t
e
r
m
i
n
a
t
S
C
D
r
=
n
S
i
s
t
e
m
a
C
o
m
p
a
t
i
b
l
e
i
n
d
e
t
e
r
m
i
n
a
t
S
C
I
r
<
n
S
i
s
t
e
m
a
I
n
c
o
m
p
a
t
i
b
l
e
S
I
r
<
r
∗
{\displaystyle Sistema\;\;lineal={\begin{cases}{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}}{\begin{cases}{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix}}\\\\{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix}}\end{cases}}\\\\{\begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}}\end{cases}}}
SCD: Una única solució, un punt.SCI: Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r.SI: Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes.Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat.
[ edit ] Si un sistema lineal de dos incògnites és SCD , llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions.
Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: Si un sistema lineal de dos incògnites és SCI , llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació.
Si un sistema lineal de dos incògnites és SI , llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.
Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. [ edit ] Si un sistema lineal de tres incògnites és SCD , llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions.
Si un sistema lineal de tres incògnites és SCI , llavors vol dir que podria ser desde equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions.
Si un sistema lineal de tres incògnites és SI , llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.
Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode.
Donat un sistema lineal nxn :
(
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
n
)
⋅
(
x
1
⋮
x
n
)
=
(
b
1
⋮
b
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
La solució general de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
i ) per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així:
x
i
=
|
a
1
1
⋯
a
1
i
−
1
b
1
a
1
i
1
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
i
−
1
b
n
a
n
i
1
⋯
a
n
n
|
|
a
1
1
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
n
|
{\displaystyle x_{i}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,i-1}&b_{1}&a_{1\,i 1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,i-1}&b_{n}&a_{n\,i 1}&\cdots &a_{n\,n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,n}\end{vmatrix}}}}
Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és SCD .
L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest.
[ edit ] Donat el sistema:
(
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
)
⋅
(
x
1
x
2
)
=
(
b
1
b
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}}
Llavors:
x
1
=
|
b
1
a
1
2
b
2
a
2
2
|
|
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
|
{\displaystyle x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{1\,2}\\b_{2}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}}}
i
x
2
=
|
a
1
1
b
1
a
2
1
b
2
|
|
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
|
{\displaystyle x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&b_{1}\\a_{2\,1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}}}
Busquem solucions al sistema
x
−
y
=
3
2
x
y
=
6
{\displaystyle {\begin{matrix}x-y&=3\\2x y&=6\end{matrix}}}
det
(
A
)
{\displaystyle \det(A)}
=
det
(
1
−
1
2
1
)
{\displaystyle =\det {\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}}
=
1
⋅
1
−
(
2
⋅
(
−
1
)
)
{\displaystyle =1\cdot 1-(2\cdot (-1))}
=
3.
{\displaystyle =3.}
x
{\displaystyle x}
=
|
3
−
1
6
1
|
|
1
−
1
2
1
|
{\displaystyle ={\frac {\begin{vmatrix}3&-1\\6&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}}}\;\;\;\;}
y
{\displaystyle \;\;\;\;y}
=
|
1
3
2
6
|
|
1
−
1
2
1
|
.
{\displaystyle ={\frac {\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}}}.}
x
=
9
3
=
3
{\displaystyle x={\frac {9}{3}}=3\;\;\;\;}
y
=
0
3
=
0
{\displaystyle \;\;\;\;y={\frac {0}{3}}=0}
[ edit ] Donat el sistema:
(
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
)
⋅
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
b
1
b
2
b
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}}
Llavors:
x
1
=
|
b
1
a
1
2
a
1
3
b
2
a
2
2
a
2
3
b
3
a
3
2
a
3
3
|
|
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
|
{\displaystyle x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\b_{2}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\b_{3}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}}
,
x
2
=
|
a
1
1
b
1
a
1
3
a
2
1
b
2
a
2
3
a
3
1
b
3
a
3
3
|
|
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
|
{\displaystyle x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&b_{1}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&b_{2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&b_{3}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}}
i
x
3
=
|
a
1
1
a
1
2
b
1
a
2
1
a
2
2
b
2
a
3
1
a
3
2
b
3
|
|
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
|
{\displaystyle x_{3}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&b_{1}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&b_{2}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}}
Busquem les solucions del sistema
{
x
y
=
1
x
z
=
2
y
z
=
3
{\displaystyle {\begin{cases}x y=1\\x z=2\\y z=3\end{cases}}}
x
=
|
1
1
0
2
0
1
3
1
1
|
|
1
1
0
1
0
1
0
1
1
|
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}1&1&0\\2&0&1\\3&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}}
=
0
−
2
=
0
{\displaystyle ={\frac {0}{-2}}=0}
y
=
|
1
1
0
1
2
1
0
3
1
|
|
1
1
0
1
0
1
0
1
1
|
{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&3&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}}
=
−
2
−
2
=
1
{\displaystyle ={\frac {-2}{-2}}=1}
z
=
|
1
1
1
1
0
2
0
1
3
|
|
1
1
0
1
0
1
0
1
1
|
{\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\0&1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}}
=
−
4
−
2
=
2
{\displaystyle ={\frac {-4}{-2}}=2}
La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes.
Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes.
Exemples
Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Un punt sobre el pla real és un element del conjunt
R
×
R
=
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}
(
3
,
5
)
{\displaystyle (3,5)}
Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt
R
×
R
×
R
=
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}
(
1
,
−
3
,
7
)
{\displaystyle (1,-3,7)}
Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques.
El concepte de vector a la geometria[ 5]
Definició i notació:
Donat dos punts A i B de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
A
=
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle A=(a_{1},\;a_{2})}
B
=
(
b
1
,
b
2
)
{\displaystyle B=(b_{1},\;b_{2})}
v
→
=
A
B
→
=
B
−
A
=
(
b
1
−
a
1
,
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {AB}}=B-A=(b_{1}-a_{1},\;b_{2}-a_{2})}
Donat dos punts A i B de
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
A
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
{\displaystyle A=(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})}
B
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{\displaystyle B=(b_{1},\;b_{2},\;b_{3})}
v
→
=
A
B
→
=
B
−
A
=
(
b
1
−
a
1
,
b
2
−
a
2
,
b
3
−
a
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {AB}}=B-A=(b_{1}-a_{1},\;b_{2}-a_{2},\;b_{3}-a_{3})}
Observació
Respectant la idea de resta de matrius files obtenim un nou element, que segueix sent una matriu fila, l'anomenarem vector.
Dels valors que té ja no en direm coordenades sinó components. Tenim doncs les propietats següents:
Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. Podem utilitzar algebraicament els punts i vectors com:
v
→
=
B
−
A
{\displaystyle {\vec {v}}=B-A}
v
→
A
=
B
{\displaystyle {\vec {v}} A=B}
A
=
B
−
v
→
{\displaystyle A=B-{\vec {v}}}
Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius:
Donats dos vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})}
v
→
=
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2})}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
w
→
=
u
→
v
→
=
(
u
1
v
1
,
u
2
v
2
)
.
{\displaystyle {\vec {w}}={\vec {u}} {\vec {v}}=(u_{1} v_{1},\;u_{2} v_{2}).}
Donats dos vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})}
v
→
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2},\;v_{3})}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
w
→
=
u
→
v
→
=
(
u
1
v
1
,
u
2
v
2
,
u
3
v
3
)
.
{\displaystyle {\vec {w}}={\vec {u}} {\vec {v}}=(u_{1} v_{1},\;u_{2} v_{2},\;u_{3} v_{3}).}
Producte per escalar [ edit ] Donat un vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
λ
{\displaystyle \lambda }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
w
→
=
λ
⋅
u
→
=
(
λ
⋅
u
1
,
λ
⋅
u
2
)
.
{\displaystyle {\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}=(\lambda \cdot u_{1},\;\lambda \cdot u_{2}).}
Donat un vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
λ
{\displaystyle \lambda }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
w
→
=
λ
⋅
u
→
=
(
λ
⋅
u
1
,
λ
⋅
u
2
,
λ
⋅
u
3
)
.
{\displaystyle {\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}=(\lambda \cdot u_{1},\;\lambda \cdot u_{2},\;\lambda \cdot u_{3}).}
Exercicis:
1) Estic en el punt
A
=
(
5
,
5
)
,
{\displaystyle A=(5,\;5),}
B
=
(
2
,
3
)
.
{\displaystyle B=(2,\;3).}
El camí que va a casa meva ve determinat pel vector:
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AB}}}
=
B
−
A
{\displaystyle =B-A}
=
(
2
,
3
)
−
(
5
,
5
)
{\displaystyle =(2,\;3)-(5,\;5)}
(
−
3
,
−
2
)
.
{\displaystyle (-3,\;-2).}
Per tant si camino, des d'on estic i en línea recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació:
A
5
⋅
A
B
→
{\displaystyle A 5\cdot {\vec {AB}}}
=
(
5
,
5
)
5
⋅
(
−
3
,
−
2
)
{\displaystyle =(5,\;5) 5\cdot (-3,\;-2)}
=
(
5
,
5
)
(
5
⋅
(
−
3
)
,
5
⋅
(
−
2
)
)
{\displaystyle =(5,\;5) (5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))}
=
(
5
,
5
)
(
−
15
,
−
10
)
{\displaystyle =(5,\;5) (-15,\;-10)}
=
(
−
10
,
−
5
)
{\displaystyle =(-10,\;-5)}
Solució: La biblioteca està al punt
C
=
(
−
10
,
−
5
)
.
{\displaystyle C=(-10,\;-5).}
2) Dos arbres estan en els punts
A
=
(
2
,
3
)
{\displaystyle A=(2,\;3)}
B
=
(
4
,
1
)
,
{\displaystyle B=(4,\;1),}
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AB}}}
=
B
−
A
{\displaystyle =B-A}
=
(
4
,
1
)
−
(
2
,
3
)
{\displaystyle =(4,\;1)-(2,\;3)}
=
(
2
,
−
2
)
.
{\displaystyle =(2,\;-2).}
Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir:
A
B
→
2
{\displaystyle {\frac {\vec {AB}}{2}}}
=
(
2
,
−
2
)
2
{\displaystyle ={\frac {(2,\;-2)}{2}}}
=
1
2
(
2
,
−
2
)
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(2,\;-2)}
=
(
1
2
2
,
1
2
(
−
2
)
)
{\displaystyle =({\tfrac {1}{2}}2,\;{\tfrac {1}{2}}(-2))}
=
(
1
,
−
1
)
.
{\displaystyle =(1,\;-1).}
Solució: el punt que busquem és
C
{\displaystyle C}
=
A
A
B
→
2
{\displaystyle =A {\frac {\vec {AB}}{2}}}
=
(
2
,
3
)
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle =(2,\;3) (1,\;-1)}
=
(
3
,
2
)
{\displaystyle =(3,\;2)}
Donats dos vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})}
v
→
=
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2})}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
k
=
u
→
⋅
v
→
=
(
u
1
,
u
2
)
(
v
1
v
2
)
=
u
1
⋅
v
1
u
2
⋅
v
2
.
{\displaystyle k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(u_{1},\;u_{2}){\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}=u_{1}\cdot v_{1} u_{2}\cdot v_{2}.}
Donats dos vectors
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})}
v
→
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2},\;v_{3})}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
u
→
⋅
v
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
(
v
1
v
2
v
3
)
=
u
1
⋅
v
1
u
2
⋅
v
2
u
3
⋅
v
3
=
3
0
15
=
18.
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3}){\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}=u_{1}\cdot v_{1} u_{2}\cdot v_{2} u_{3}\cdot v_{3}=3 0 15=18.}
Exemple:
Sigui
u
→
=
(
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(3,\;4,\;5)}
v
→
=
(
1
,
0
,
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(1,\;0,\;3)}
k
=
u
→
⋅
v
→
=
(
3
,
4
,
5
)
(
1
0
3
)
=
3
⋅
1
4
⋅
0
5
⋅
3.
{\displaystyle k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(3,\;4,\;5){\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}=3\cdot 1 4\cdot 0 5\cdot 3.}
[ edit ] Donat un vector
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})}
R
2
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}
l
u
→
=
u
→
⋅
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
(
u
1
u
2
)
{\displaystyle l_{\vec {u}}={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {(u_{1},\;u_{2}){\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}}}}
=
u
1
⋅
u
1
u
2
⋅
u
2
{\displaystyle ={\sqrt {u_{1}\cdot u_{1} u_{2}\cdot u_{2}}}}
=
u
1
2
u
2
2
.
{\displaystyle ={\sqrt {u_{1}^{2} u_{2}^{2}}}.}
Donat un vector
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})}
R
3
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
l
u
→
=
u
→
⋅
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
(
u
1
u
2
u
3
)
{\displaystyle l_{\vec {u}}={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {(u_{1},\;u_{2},\;u_{3}){\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}}}}
=
u
1
⋅
u
1
u
2
⋅
u
2
u
3
⋅
u
3
{\displaystyle ={\sqrt {u_{1}\cdot u_{1} u_{2}\cdot u_{2} u_{3}\cdot u_{3}}}}
=
u
1
2
u
2
2
u
3
2
.
{\displaystyle ={\sqrt {u_{1}^{2} u_{2}^{2} u_{3}^{2}}}.}
Exemples:
1) Longitud del vector
u
→
=
(
1
,
1
)
,
{\displaystyle {\vec {u}}=(1,\;1),}
l
u
→
=
1
2
1
2
=
2
{\displaystyle l_{\vec {u}}={\sqrt {1^{2} 1^{2}}}={\sqrt {2}}}
Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) Longitud del vector
w
→
=
(
1
,
−
1
,
0
)
,
{\displaystyle {\vec {w}}=(1,\;-1,\;0),}
l
w
→
=
1
2
(
−
1
)
2
0
2
=
2
{\displaystyle l_{\vec {w}}={\sqrt {1^{2} (-1)^{2} 0^{2}}}={\sqrt {2}}}
Per obtenir vectors unitaris, que són vectors de longitud 1, només cal extreure la seva longitud, per tant, hem de dividir el vector per la seva longitud:
u
^
=
u
→
l
u
{\displaystyle {\hat {u}}={\frac {\vec {u}}{l_{u}}}}
Construït així, aquest vector
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
[ edit ] Primer de tot necessitem una direcció on volem projectar, es donada amb un vector unitari
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
La longitud del vector projectat és:
l
p
→
=
v
→
⋅
u
^
.
{\displaystyle l_{\vec {p}}={\vec {v}}\cdot {\hat {u}}.}
Per tant el vector projectat és:
p
→
=
l
p
→
⋅
u
^
{\displaystyle {\vec {p}}=l_{\vec {p}}\cdot {\hat {u}}}
Angle entre dos vectors [ edit ] Per calcular l'angle entre dos vectors qualsevols
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
c
o
s
(
α
)
=
v
→
⋅
u
→
l
u
→
⋅
l
v
→
{\displaystyle cos(\alpha )={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}}{l_{\vec {u}}\cdot l_{\vec {v}}}}}
Per calcular l'angle entre
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
c
o
s
(
α
)
=
l
p
→
l
u
→
=
v
→
⋅
u
^
l
v
→
{\displaystyle cos(\alpha )={\frac {l_{\vec {p}}}{l_{\vec {u}}}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\hat {u}}}{l_{\vec {v}}}}}
Les bases de vectors s'utilitzen per construir tots els possibles vectors d'un espai de treball.
El conjunt de vectors més senzills i utilitzats com a base, anomenat base canònica, a
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
i
^
=
(
1
,
0
,
0
)
,
j
^
=
(
0
,
1
,
0
)
i
k
^
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\hat {i}}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;{\hat {j}}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;{\hat {k}}=(0,\;0,\;1)}
[ edit ] Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar.
Exemple :
Donats els vectors
u
→
=
(
1
,
−
2
,
0
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(1,\;-2,\;0)}
v
→
=
(
0
,
5
,
−
1
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(0,\;5,\;-1)}
s
→
=
(
−
3
,
1
,
4
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(-3,\;1,\;4)}
w
→
:
{\displaystyle {\vec {w}}:}
1) Si
w
→
{\displaystyle {\vec {w}}}
w
→
=
u
→
−
v
→
3
⋅
s
→
{\displaystyle {\vec {w}}={\vec {u}}-{\vec {v}} 3\cdot {\vec {s}}}
w
→
=
(
1
,
−
2
,
0
)
(
−
1
)
⋅
(
0
,
5
,
−
1
)
3
⋅
(
−
3
,
1
,
4
)
{\displaystyle {\vec {w}}=(1,\;-2,\;0) (-1)\cdot (0,\;5,\;-1) 3\cdot (-3,\;1,\;4)}
=
(
1
,
−
2
,
0
)
(
0
,
−
5
,
1
)
(
−
9
,
3
,
12
)
{\displaystyle =(1,\;-2,\;0) (0,\;-5,\;1) (-9,\;3,\;12)}
=
(
−
8
,
−
4
,
13
)
{\displaystyle =(-8,\;-4,\;13)}
Tenim que
w
→
=
(
−
8
,
−
4
,
13
)
{\displaystyle {\vec {w}}=(-8,\;-4,\;13)}
2) Si
w
→
{\displaystyle {\vec {w}}}
w
→
=
5
⋅
u
→
2
⋅
v
→
−
4
⋅
s
→
{\displaystyle {\vec {w}}=5\cdot {\vec {u}} 2\cdot {\vec {v}}-4\cdot {\vec {s}}}
w
→
=
5
⋅
(
1
,
−
2
,
0
)
2
⋅
(
0
,
5
,
−
1
)
(
−
4
)
⋅
(
−
3
,
1
,
4
)
{\displaystyle {\vec {w}}=5\cdot (1,\;-2,\;0) 2\cdot (0,\;5,\;-1) (-4)\cdot (-3,\;1,\;4)}
=
(
5
,
−
10
,
0
)
(
0
,
10
,
−
2
)
(
12
,
−
4
,
−
16
)
{\displaystyle =(5,\;-10,\;0) (0,\;10,\;-2) (12,\;-4,\;-16)}
=
(
17
,
−
4
,
−
18
)
{\displaystyle =(17,\;-4,\;-18)}
Tenim que
w
→
=
(
17
,
−
4
,
−
18
)
{\displaystyle {\vec {w}}=(17,\;-4,\;-18)}
[ edit ]
↑ Els subíndex i i j es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta com un sistema de coordenades. Si la matriu és de n files i m columnes,
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
i pot prendre els valors que van des de i=1 fins arribar a i=n i el mateix per j que pot prendre valors de j=1 fins arribar a j=m, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,\,j}}
=
a
i
j
{\displaystyle =a_{i\,j}}
↑ Aquesta propietat s'escriu com
M
m
×
n
M
m
×
n
⟶
M
m
×
n
.
{\displaystyle M_{m\times n} M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.}
↑ En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
1
×
m
{\displaystyle 1\times m}
↑ Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el determinant quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.
↑ Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica
.svg)
