Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі $J$ цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела $J_{C}$ адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела $m$ на квадрат адлегласці $d$ паміж восямі:

J=J_{C} md^{2}\,\!

дзе

J_{C}

— вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,

J

— шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,

m

— маса цела,

d

— адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова

Момант інерцыі, паводле азначэння:

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r'}}_{i})^{2}\,\!

Радыус-вектар ${\vec {r'}}_{i}\,\!$ можна распісаць як суму двух вектараў:

{\vec {r'}}_{i}={\vec {r}}_{i} {\vec {d}}\,\!

,

дзе ${\vec {d}}$ — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2} 2\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {d}} \sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {d}})^{2}\,\!

Выносячы за суму ${\vec {d}}$ , атрымаем:

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2} 2{\vec {d}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i} d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0\,\!

Тады:

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2} d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!

Адкуль і вынікае шуканая формула:

J=J_{C} md^{2}\,\!

,

дзе $J_{C}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю $C$ ) роўны

J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

J=J_{C} md^{2}\,\!

дзе $d$ — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю $C$ . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле $d=L/2$ :

J=J_{C} m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}} {\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.

Пералік тэнзара інерцыі

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар $\mathbf {J} _{ij}$ адносна адвольнага пункта з тэнзара $\mathbf {I} _{ij}$ адносна цэнтра мас. Няхай $\mathbf {a}$ — зрушэнне ад цэнтра мас, тады