Тэарэма Менелая

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты $A',B'$ і $C'$ ляжаць адпаведна на прамых $BC,CA$ і $AB$ трохвугольніка $\triangle ABC$, то яны калінеарныя, тады і толькі тады калі

${\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.$

Тут ${\frac {AB'}{B'C}}$, ${\frac {CA'}{A'B}}$ і ${\frac {BC'}{C'A}}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.$

Гісторыя

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A'C' . Трохвугольнікі $\triangle AC'B'$ і $\triangle CKB'$ падобныя (па двум вуглам), таму

${|AC'| \over |CK|}={|B'A| \over |B'C|}$

і, значыць —

$|CK|={|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|}$.

З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі $\triangle BC'A'$ і $\triangle CKA'$, таму

${|C'B| \over |CK|}={|BA'| \over |A'C|}$

і, такім чынам —

$|CK|={|C'B|\cdot |A'C| \over |BA|'}$.

Але ў такім выпадку

${|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|}={|C'B|\cdot |A'C| \over |BA'|}$

або

${|AC'| \over |C'B|}\cdot {|BA'| \over |A'C|}\cdot {|CB'| \over |B'A|}=1$.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў $A',B'$ і $C'$, альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

${\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.$