Тэарэма Мэнэлая

Тэарэ́ма Мэнэла́я — гэта клясычная тэарэма афіннай геамэтрыі.

Калі пункты $D,E$ і $F$ ляжаць адпаведна на прамых $BC,CA$ і $AB$ трохкутніка $\triangle ABC$ , то яны калінэарныя, але толькі тады, калі

{\frac {AE}{EC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}\cdot {\frac {BF}{FA}}=-1.

Тут ${\frac {AE}{EC}}$ , ${\frac {CD}{DB}}$ і ${\frac {BF}{FA}}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасьці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

{\frac {|AE|}{|EC|}}\cdot {\frac {|CD|}{|DB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FA|}}=1.

Гісторыя

Падобны вынік у сфэрычнай геамэтрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Мэнэлая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналягічны вынік на плоскасьці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой DF. Трохкутнікі $\triangle AFE$ і $\triangle CKE$ падобныя (па двум вуглам), таму

{|AF| \over |CK|}={|EA| \over |EC|}

і, значыць —

|CK|={|AF|\cdot |EC| \over |EA|}

.

З другога боку, падобнымі зьяўляюцца таксама і трохкутнікі $\triangle BFD$ і $\triangle CKD$ , таму

{|FB| \over |CK|}={|BD| \over |DC|}

і, такім чынам —

|CK|={|FB|\cdot |DC| \over |BD|}

.

Але ў такім выпадку

{|AF|\cdot |EC| \over |EA|}={|FB|\cdot |DC| \over |BD|}

або

{|AF| \over |FB|}\cdot {|BD| \over |DC|}\cdot {|CE| \over |EA|}=1

.

Магчымыя два разьмяшчэньні пунктаў $D,E$ і $F$ , альбо два зь іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэньні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэньнях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

{\frac {AE}{EC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}\cdot {\frac {BF}{FA}}=-1.