Ысын һан

Ысын һан (лат. realis — ысын һүҙенән) — әйләнә-тирәләге геометрик һәм физик дәүмәлдәрҙе үлсәү кәрәклегенән, шулай уҡ тамыр алыу, логарифмдарҙы иҫәпләү, алгебраик тигеҙләмәләрҙе сығарыу, функцияларҙың үҙсәнлеген тикшереү кеүек иҫәпләү ғәмәлдәрен башҡарыу өсөн килеп сыҡҡан математик объект..

Һанлы тура һыҙыҡ, унда $\gamma$, √2, $e$ һәм $\pi$ һандарының урынлашыуы күрһәтелгән

Әгәр натураль һандар иҫәпләү процессында, рациональ һандар — бөтөндөң өлөштәренә таянып эш итеү кәрәклегенән барлыҡҡа килһәләр, ысын һандар өҙлөкһөҙ дәүмәлдәрҙе үлсәү өсөн тәғәйенләнгәндәр. Шулай итеп, ҡаралған һандар запасын киңәйтеү ысын һандар күмәклегенә килтерә, ул рациональ һандарҙан тыш иррациональ һандар тип аталған башҡа элементтарҙы ла индерә.

Ысын һан төшөнсәһен асыҡ итеп һанлы тура һыҙыҡ ярҙамында күҙ алдына килтерергә мөмкин. Әгәр тура һыҙыҡта йүнәлеш, башланғыс нөктә һәм киҫектәрҙе үлсәү өсөн оҙонлоҡ берәмеге һайлаһаҡ, ул саҡта һәр ысын һанға был тура һыҙыҡта билдәле бер нөктәне ярашлы ҡуйырға мөмкин, һәм киреһенсә, тура һыҙыҡтың һәр нөктәһенә ниндәйҙер ысын һанды ярашлы ҡуйырға мөмкин һәм бары тик берҙе генә. Ошондай ярашлылыҡ арҡаһында «һанлы тура һыҙыҡ» термины ғәҙәттә ысын һандар күмәклеге синонимы сифатында ҡулланыла.

Ысын һан төшөнсәһе оҙон нығыныу юлы үтә. Боронғо Грецияла бөтә нәмәнең нигеҙенә бөтөн һандарҙы һәм уларҙың сағыштырмаһын ҡуйған Пифагор мәктәбендә үлсәүҙәш булмаған дәүмәлдәр барлығы (квадраттың яғы һәм диагоналының үлсәүҙәш булмауы), йәғни хәҙерге терминологияла — рациональ булмаған һандарҙың барлығы асыҡ була. Артынса Евдокс Книдский үлсәүҙәш булмаған дәүмәлдәрҙе үҙ эсенә алған дөйөм һандар теорияһы төҙөргә тырыша. Бынан һуң ике меңдән ашыу йыл дауамында, бер кем дә ысын һан төшөнсәһенә, был төшөнсәнең әкренләп киңәйеүенә ҡарамаҫтан, теүәл билдәләмә биреү кәрәклеген тоймай. Тик XIX быуаттың икенсе яртыһында, математик анализдың үҫеше уның нигеҙен яңы, ҡәтғилектең юғарыраҡ кимәлендә үҙгәртеп ҡороуҙы талап иткәс, К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд, Г. Кантор, Э. Гейне, Ш. Мере хеҙмәттәрендә ысын һандарҙың ҡәтғи теорияһы төҙөлә.

Хәҙерге математика күҙлегенән, ысын һандар күмәклеге — өҙлөкһөҙ тәртипкә килтерелгән ялан. Был билдәләмә, йәки эквивалент аксиомалар системаһы, ысын һандар яланы төшөнсәһен, бер генә, изоморфизмға тиклем аныҡлыҡ менән, өҙлөкһөҙ тәртипкә килтерелгән ялан бар тигән мәғәнәлә, теүәл билдәләй.

Ысын һандар күмәклегенең стандарт тамғаланышы бар — R («ярым ҡалын R»), $\mathbb {R}$ йәки $\mathbf {R}$, Unicode U 211D: ℝ) (ингл. blackboard bold «R») лат. realis — ысын һүҙенән.

Ысын һан төшөнсәһенең нығыныу тарихы

Ысын һандарҙың бер ҡатлы теорияһы

Боронғо Грецияла төҙөлгән беренсе үҫешкән һан системаһы тик натураль һандарҙы һәм уларҙың сағыштырмаларын (пропорциялар, хәҙергесә әйткәндә — рациональ һандарҙы) үҙ эсенә ала. Әммә оҙаҡламай геометрия һәм астрономия маҡсаттарында уларҙың етерлек булмауы асыҡлана: мәҫәлән, квадраттың диагонале оҙонлоғоноң уның яғы оҙонлоғона сағыштырмаһы натураль һан менән дә, рациональ һан менән дә күрһәтелә алмай.

Был хәлдән сығыу өсөн Евдокс Книдский һандарға өҫтәп, киңерәк геометрик дәүмәл, йәғни киҫек оҙонлоғо, майҙан йәки күләм төшөнсәһе индерә. Евдокс теорияһы беҙҙең көндәргә тиклем Евклидтың яҙмаларында («Евклидтың Башланғыстар», V китабы) килеп етә. Асылда, Евдокс теорияһы — ул ысын һандарҙың геометрик моделе. Хәҙерге күҙлектән ҡарағанда, бындай ҡарашта һан ике бер төрлө дәүмәлдәрҙең сағыштырмаһы  — мәҫәлән, тикшерелгән дәүмәлдең һәм берәмек эталонының. Әммә, билдәләп китергә кәрәк, Евдокс элекке традицияға тоғро ҡала — бындай сағыштырманы һан итеп ҡарамай; шунлыҡтан «Башланғыстарҙа» һандарҙың үҙсәнлектәре тураһында күп теоремалар дәүмәлдәр өсөн өр-яңынан иҫбат ителәләр. Ысын һандарҙы төҙөү өсөн Дедекиндтың классик теорияһы үҙенең принциптары буйынса Евдокстың яҙмаларына сиктән тыш оҡшаш. Ләкин Евдокс моделе күп яҡтан тулы түгел, мәҫәлән, өҙлөкһөҙлөк аксиомалары юҡ, дәүмәлдәр йәки уларҙың сағыштырмалары өсөн арифметик ғәмәлдәрҙең дөйөм теорияһын бирмәй һ. б.

Ситуация б. э. беренсе быуаттарында үҙгәрә башлай. Диофант Александрийский, элекке традицияларға ҡарамай, кәсерҙәргә натураль һандар кеүек үк ҡарай, ә үҙенең «Арифметикаһының» IV китабында хатта бер үк һөҙөмтә тураһында яҙа: «Һан рациональ булмай». Боронғо фән юҡҡа сыҡҡандан һуң Һиндостандың һәм ислам илдәренең математиктары беренсе планға сыға, улар өсөн үлсәүҙең йәки иҫәпләүҙең теләһә ниндәй һөҙөмтәһе һан булып иҫәпләнә. Тәүҙә рациональ һәм иррациональ (һүҙмә-һүҙ: «мәғәнәһеҙ») һандарҙы айырып ҡараған (уларҙы шулай уҡ уйланма, мәғәнәһеҙ, йәшерен тип атағандар) урта быуат Европаһында ла бындай ҡараштар яйлап өҫкә сыға. Иррациональ һандарҙың хоҡуҡтарын тулыһынса тигеҙләү Симон Стевиндың (XVI быуат аҙағы) хеҙмәттәре менән бәйле, ул ошолай тип иғлан итә:

Беҙ, бер ниндәй ҙә уйланма, мәғәнәһеҙ, йәшерен, дөрөҫ булмаған, аңлайышһыҙ һандар юҡ, ләкин һандар араһында шундай камиллыҡ һәм берҙәмлек бар, хатта беҙгә көндәр һәм төндәр буйы уларҙың ғәжәйеп тулылығы өҫтөндә уйланырға кәрәк, тигән фекергә киләбеҙ.

Тап ул, ҡайһы бер төҙәтмәләр менән,тиҫкәре һандарҙы легаль хәлгә күсерә, шулай уҡ унарлы кәсерҙәрҙең теорияһын һәм символикаһын үҫтерә, улар ошо моменттан башлап уңайһыҙ алтмышарлы һандарҙы ҡыҫырыҡлап сығара башлайҙар.

Йөҙ йыл үткәс Ньютон үҙенең «Универсаль арифметикаһында» (1707 йылда) (ысын) һанға үлсәү һөҙөмтәһенең берәмек эталонға сағыштырмаһы булараҡ классик билдәләмә бирә:

Һан төшөнсәһе аҫтында беҙ берәмектәр күмәклеге түгел, ниндәйҙер дәүмәлдең берәмек итеп ҡабул ителгән шул уҡ төрҙәге дәүмәлгә исемһеҙ сағыштырмаһын аңлайбыҙ.

Оҙаҡ ваҡыт был ғәмәли билдәләмә етерлек тип иҫәпләнә, ысын һандарҙың һәм функцияларҙың практик мөһим үҙсәнлектәре иҫбат ителмәй, ә интуитив рәүештә дөрөҫ тип иҫәпләнәләр (геометрик йәки кинематик фекерҙәрҙән сығып). Мәҫәлән, нөктәләре ниндәйҙер тура һыҙыҡтан төрлө яҡта ятҡан өҙлөкһөҙ кәкере һыҙыҡ был тура һыҙыҡты киҫеп үтә икәнлеге бәхәсһеҙ факт тип иҫәпләнә. Өҙлөкһөҙлөк төшөнсәһенең ҡәтғи билдәләмәһе лә булмай. Эҙемтә булараҡ, күп теоремалар хаталы була, аныҡ түгел йәки үтә оҙон итеп әйтеләләр.

Хатта Коши анализдың етерлек ҡәтғи фундаментын эшләгәндән һуң да, хәл үҙгәрмәй, сөнки анализ таянырға тейеш булған ысын һандар теорияһы булмай. Шунлыҡтан Коши, дөрөҫ булмаған һығымталарға килтергән интуицияға таянып, күп хаталар яһай: мәҫәлән, ул өҙлөкһөҙ функциялар рәтенең суммаһы һәр ваҡыт өҙлөкһөҙ тип уйлай.

Ҡәтғи теорияны төҙөү

Математиканың нигеҙендәге буш урынды тултырырға Бернард Больцано беренсе булып үҙенең «Ҡапма-ҡаршы тамғалы һөҙөмтә биргән теләһә ниндәй ике ҡиммәт араһында тигеҙләмәнең бер генә булһа ла ысын тамыры ята, тигән теореманы тулыһынса аналитик иҫбатлау» (1817 йыл) мәҡәләһендә уҡтала. Был пионер хеҙмәтендә ысын һандарҙың бөтөн системаһы әлегә юҡ, ләкин өҙөкһөҙлөктең хәҙерге билдәләмәһе бирелә һәм, ошонан сығып, башта телгә алынған теореманы ҡәтғи иҫбат итергә мөмкин булыуы күрһәтелә. Аҙағыраҡ яҙған хеҙмәтендә Больцано ысын һандарҙың дөйөм теорияһының һыҙмаһын бирә, ул идеяһы буйынса Канторҙың күмәклектәр теорияһына яҡын була, ләкин уның был хеҙмәте автор тере саҡта баҫтырып сығарылмай һәм тик 1851 йылда донъя күрә. Больцаноның ҡараштары үҙенең заманын һиҙелерлек уҙып китә һәм математиктар йәмәғәтселегенең иғтибарын йәлеп итмәй.

Ысын һандарҙың хәҙерге теорияһы XIX быуаттың икенсе яртыһында төҙөлә, беренсе сиратта Вейерштрасс, Дедекинд һәм Кантор хеҙмәттәре менән. Улар был бик мөһим математик структура теорияһына төрлө, ләкин эквивалентлы ҡараш тәҡдим итәләр һәм был төшөнсәне геометриянан һәм механиканан тамам айыралар.

Ысын һанға билдәләмә биреүҙең конструктив ысулдары

Ысын һанға конструктив билдәләмә биргәндә, бирелгән тип иҫәпләнгән билдәле математик объекттар (мәҫәлән, рациональ һандар күмәклеге $\mathbb {Q}$) нигеҙендә, яңы объекттар төҙөйҙәр, улар билдәле бер мәғәнәлә беҙҙең ысын һан тураһында интуитив аңлауыбыҙҙы сағылдыралар. Ысын һандар менән был төҙөлгән объекттар араһында мөһим айырма шунда, беренселәре икенселәренән айырмалы рәүештә тик интуицияға нигеҙләнеп кенә аңлашыла һәм әлеге ҡәтғи билдәләнгән математик төшөнсә булып тормайҙар.

Был объекттарҙы ысын һандар тип иғлан итәләр ҙә инде. Улар өсөн төп арифметик операциялар индерәләр, тәртипкә килтереү бәйләнешен билдәләйҙәр һәм уларҙың үҙсәнлектәрен иҫбатлайҙар.

Тарихи ысын һандың беренсе ҡәтғи билдәләмәһе тап конструктив билдәләмә була. 1872 йылда бер юлы өс хеҙмәт баҫыла: Канторҙың фундаменталь эҙмә-эҙлелектәр теорияһы, Вейерштрасстың теорияһы (хәҙерге вариантта — сикһеҙ унарлы кәсерҙәр теорияһы) һәм Дедекиндтың рациональ һандар өлкәһендә киҫелештәр теорияһы.

Канторҙың фундаменталь эҙмә-эҙлелектәр теорияһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Теория фундаментальных последовательностей Кантора

Был ҡарашта ысын һан рациональ һандар эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе булараҡ ҡарала. Рациональ һандар эҙмә-эҙлелеге йыйылыусан булһын өсөн, уға Коши шарты һалына:

$\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n m}-a_{n}|<\varepsilon$

Был шарттың мәғәнәһе шунда, эҙмә-эҙлелектең быуындары ниндәйҙер бномерҙан башлап бер береһенә мөмкин тиклем яҡын ятырға тейештәр. Коши шартын ҡәнәғәтләндергән эҙмә-эҙлектәр фундаменталь тип аталалар.

Рациональ һандарҙың фундаменталь эҙмә-эҙлеге $\{a_{n}\}$ менән билдәләнгән ысын һанды $[a_{n}]$ тип тамғалайбыҙ.

Ярашлы рәүештә $\{a_{n}\}$ һәм $\{b_{n}\}$ фундаменталь эҙмә-эҙлелектәре менән билдәләнгән

$\alpha =[a_{n}]$ һәм $\beta =[b_{n}]$,

ысын һандары тигеҙ тип аталалар, әгәр

$\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$

Әгәр ике $\alpha =[a_{n}]$ һәм $\beta =[b_{n}]$ ысын һаны бирелһә, уларҙың суммаһы һәм ҡабатландығы тип ярашлы рәүештә $\{a_{n}\}$ һәм $\{b_{n}\}$ эҙмә-эҙлелектәренең суммаһы һәм ҡабатландығы тип билдәләнгән һандар аталалар:

$\alpha \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n} b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}\cdot b_{n}]$

Ысын һандар күмәклегендә тәртип бәйләнеше, $\alpha =[a_{n}]$ һаны билдәләмә буйынса $\beta =[b_{n}]$ һанынан ҙурыраҡ, йәғни $\alpha >\beta$ була, әгәр

$\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n} \varepsilon$

булһа, тигән килешеүгә ярашлы урынлаштырыла. Ысын һандар күмәклеген рациональ һандарҙың фундаменталь эҙмә-эҙлелектәре ярҙамында төҙөү ысулы ирекле метрик арауыҡты тулыландырыу конструкцияһының айырым осрағы булып тора. Дөйөм осраҡтағы кеүек, тулыландырыу һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килгән ысын һандар күмәклеге үҙе үк тулы булып тора, йәғни үҙенең элементтарының бөтә фундаменталь эҙмә-эҙлелектәре сикләмәләрен үҙ эсенә ала.

Сикһеҙ унарлы кәсерҙәр теорияһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Теория бесконечных десятичных дробей

Ысын һанға сикһеҙ унарлы кәсер, йәғни

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots$

күренешендәге аңлатма, бында $\pm$ һандың тамғаһы тип аталған ${\displaystyle }$ йәки $-$ символдарының береһе, $a_{0}$ — тиҫкәре булмаған бөтөн һан, $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ — унарлы тамғалар, йәғни $\{0,1,\ldots 9\}$ һанлы күмәклеге элементтарының эҙмә-эҙлелеге, булараҡ билдәләмә бирелә.

Сикһеҙ унарлы кәсер һанлы тура һыҙыҡта

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ и $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n} 10^{-n}\right)$ для всех $n=0,1,2,\ldots$

күренешендәге рациональ нөктәләр араһында ятҡан һан кеүек интерпретациялана. Сикһеҙ унарлы кәсер формаһында яҙылған ысын һандарҙы сағыштырыу разрядтар буйынса башҡарыла. Мәҫәлән, ике тиҫкәре булмаған һан бирелһен, ти

${\begin{matrix}\alpha &= a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &= b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}$

Әгәр $a_{0}<b_{0}$ булһа, ул саҡта $\alpha <\beta$; әгәр $a_{0}>b_{0}$ булһа, ул саҡта $\alpha >\beta$. $a_{0}=b_{0}$ тигеҙлеге осрағында артабанғы разрядты сағыштырыуға күсәләр. Һәм артабан шулай. Әгәр $\alpha \neq \beta$ булһа, сикле һандағы аҙымдан һуң шундай беренсе $n$ разряды осрай, бында $a_{n}\neq b_{n}$. Әгәр $a_{n}<b_{n}$ булһа, ул саҡта $\alpha <\beta$ була; әгәр $a_{n}>b_{n}$ булһа, ул саҡта $\alpha >\beta$ була.

Әммә, шуның менән бергә, һан $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n} 10^{-n}$ булыуын иҫәпкә алырға кәрәк. Шуға күрә әгәр сағыштырылыусы һандарҙың береһенең яҙылышы, ниндәйҙер разрядтан башлап, периодында 9 торған периодлы унарлы кәсер булһа, уны периодта нуль булған эквивалент яҙыу менән алмаштырырға кәрәк.

Сикһеҙ унарлы кәсерҙәр өҫтөндә арифметик операциялар рациональ һандар өҫтәндәге ярашлы операцияларҙың өҙлөкһөҙ дауамы булараҡ билдәләнәләр. Мәҫәлән, $\alpha$ һәм $\beta$ ысын һандарының суммаһы тип түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндергән $\alpha \beta$ һаны атала:

$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a' b'\leqslant \alpha \beta \leqslant a'' b'')$

Ошоға оҡшаш рәүештә сикһеҙ унарлы кәсерҙәрҙе ҡабатлау ғәмәленә билдәләмә бирелә.

Рациональ һандар өлкәһендә киҫелештәр теорияһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Теория сечений в области рациональных чисел

Дедекинд ҡарашында ысын һандарға рациональ һандар күмәклегендә киҫелештәр ярҙамында билдәләмә бирелә.

Рациональ һандар $\mathbb {Q}$ күмәклегендә киҫелеш тип бөтә рациональ һандар тупланмаһын ике буш булмаған — түбәнге $A$ һәм юғарылағы $A'$ класҡа теләһә ниндәй шундай бүленеше атала, түбәнге кластың һәр һаны юғары кластың теләһә ниндәй һанынан ҡәтғи рәүештә бәләкәй:

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Әгәр түбәнге класта максималь йәки юғары класта минималь булған шундай $\alpha$ һаны булһа, ул саҡта был һан $A$ һәм $A'$ күмәклектәрен бүлә: түбәнге һәм юғарылағы класс һандары $\alpha$ һанынан төрлө яҡта яталар. Шулай уҡ, $\alpha$ рациональ һаны рациональ һандар күмәклегенең бирелгән киҫелешен башҡара тип әйтәләр.

Әгәр түбәнге класта максималь, ә юғары класта — минималь элемент булмаһа, ул саҡта $A$ һәм $A'$ күмәклектәрен айырып торған бер ниндәй ҙә рациональ һан булмай. Был осраҡта билдәләмә буйынса бирелгән киҫелеште ниндәйҙер $\alpha$ иррациональ һаны билдәләй тип уйлайҙар, ул һан түбәнге һәм юғарылағы кластар араһында урынлашҡан, һәм шуның менән был киҫелеште башҡара. Икенсе төрлө әйткәндә, бер ниндәй ҙә рациональ һан менән башҡарылмаған теләһә ниндәй киҫелеш өсөн, яңы объект — иррациональ һан индерәләр, ул билдәләмә буйынса түбәнге кластағы теләһә ниндәй һандан ҙур һәм юғарылағы кластың теләһә ниндәй һанынан бәләкәй:

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Бөтә рациональ һәм бөтә иррациональ һандарҙың берекмәһен ысын һандар күмәклеге тип, ә уның элементтарын — ысын һандар тип атайҙар.

Ысын һандар өҫтөндә арифметик операцияларға рациональ һандар өҫтәндәге ярашлы операцияларҙың өҙлөкһөҙ дауамы булараҡ билдәләмә бирелә. Мәҫәлән, $\alpha$ һәм $\beta$ ысын һандарының суммаһы тип, түбәндәге шартты ҡәнәғәтләндергән $\alpha \beta$ ысын һаны атала:

$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a' b'\leqslant \alpha \beta \leqslant a'' b'')$

Аксиоматик ҡараш

Ысын һандар күмәклеген төрлө ысулдар менән төҙөргә мөмкин. Кантор теорияһында ысын һандар — рациональ һандарҙың эквивалентлы фундаменталь эҙмә-эҙлектәре кластары, Вейерштрасс теорияһында — сикһеҙ унарлы кәсерҙәр, Дедекинд теорияһында — рациональ һандар өлкәһендә киҫелештәр. Бөтә был ысулдарҙа һөҙөмтәлә беҙ билдәле үҙсәнлектәргә эйә булған ниндәйҙер объекттар (ысын һандар) күмәклеге табабыҙ: уларҙы ҡушырға, ҡабатларға, үҙ-ара сағыштырырға мөмкин. Улай ғына түгел, был объекттарҙың үҙсәнлектәре асыҡланып бөткәс, уларҙы төҙөүгә ярҙам иткән конкрет конструкцияларға беҙ артабан ярҙам һорап мөрәжәғәт итмәҫкә мөмкинбеҙ.

Математикала объекттарҙың конкрет тәбиғәте мөһим түгел, ә тик улар араһында булған математик нисбәттәр генә мөһим.

Элементтар һаны математик төшөнсәһен тикшереүсе кеше өсөн нимә тураһында һөйләһәң дә барыбер, өс алма тураһында йәки өс таш тураһында, уларҙың ашарға яраҡлы йәки яраҡһыҙ булыуы әһәмиәтле түгел. Мөһим булмаған билдәләренән тайпылыу процессында, йәғни абстрактлаштырғанда (лат. abstractio — ситкә китеү), ул өс алма һәм өс таш өсөн уртаҡ булған нәмәгә — элементтар һанына килә. Шулай абстракт натураль һан төшөнсәһе барлыҡҡа килә. Был күҙлектән ҡарағанда өс алма һәм өс таш — «өс һаны» абстракт төшөнсәһе моделенең ике конкрет тормошҡа ашырылыуы.

Тап шуның кеүек, рациональ һандарҙың фундаменталь эҙмә-эҙлектәре кластары, сикһеҙ унарлы кәсерҙәр, рациональ һандар өлкәһендә киҫелештәр ысын һандарҙы тик конкрет тормошҡа ашырыусылары, моделдәре. Ә ысын һан төшөнсәһе үҙе уның өсөн булған математик нисбәттәр менән билдәләнә. Улар ғәмәлгә индерелеп бөткәс, ысын һан төшөнсәһе лә билдәләнә. Бында математикала системалы аксиоматик ысулға нигеҙ һалыусы Д. Гильберт әйткән данлыҡлы һүҙҙе килтереү урынлы булыр, ул, геометрияны аксиомалаштырыуҙы күҙ уңында тотоп, бер саҡ әйтә:

Нөктәләр, тура һыҙыҡтар һәм яҫылыҡтар урынына шундай уҡ ҡаҙаныш менән ултырғыстар, өҫтәлдәр һәм һыра көрөшкәләре тураһында һөйләргә мөмкин булыуға өлгәшергә кәрәк. Давид Гильберт

Ысын һандар аксиоматикаһы

$\mathbb {R}$ күмәклеге ысын һандар күмәклеге, ә уның элементтары — ысын һандар тип атала, әгәр түбәндәге ысын һандар аксиоматикаһы тип аталған шарттар комплексы үтәлһә:

Ялан аксиомалары

$\mathbb {R}$ күмәклегендә, $\mathbb {R}$ күмәклегенән алынған һәр тәртипкә килтерелгән $a,b$ элементтар парына шул уҡ $\mathbb {R}$ күмәклегенән $a$ һәм $b$-ның суммаһы тип аталыусы ниндәйҙер $c$ элементын ярашлы ҡуйыусы ($a b$ $\mathbb {R}$ күмәклегенән $c$ элементының эквивалент яҙылышы) сағылыш билдәләнгән (ҡушыу операцияһы)

$:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

.

Шулай уҡ, $\mathbb {R}$ күмәклегендә, $\mathbb {R}$ күмәклегенән алынған һәр тәртипкә килтерелгән $a,b$ элементтар парына $a$ һәм $b$-ның ҡабатландығы тип аталған ниндәйҙер $a\cdot b$ элементын ярашлы ҡуйған сағылыш билдәләнгән (ҡабатлау операцияһы)

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Был ваҡытта түбәндәге үҙсәнлектәр үтәлә.

${\text{I}}_{1}.$ Ҡушыуҙың коммутативлығы. Теләһә ниндәй $a,b\in \mathbb {R}$ өсөн

$a b=b a$

${\text{I}}_{2}.$ Ҡушыуҙың ассоциативлығы. Теләһә ниндәй $a,b,c\in \mathbb {R}$ өсөн

$a (b c)=(a b) c$

${\text{I}}_{3}.$ Нулдең булыуы. Нуль тип аталған $0\in \mathbb {R}$ шундай элемент бар, теләһә ниндәй $a\in \mathbb {R}$ өсөн

$a 0=a$

${\text{I}}_{4}.$ Ҡапма-ҡаршы элементтың булыуы. Теләһә ниндәй $a\in \mathbb {R}$ өсөн $a$-ға ҡапма-ҡаршы тип аталған шундай $-a\in \mathbb {R}$ элементы бар, бында

$a (-a)=0$

${\text{I}}_{5}.$ Ҡабатлауҙың коммутативлығы. Теләһә ниндәй $a,b\in \mathbb {R}$ өсөн

$a\cdot b=b\cdot a$

${\text{I}}_{6}.$ Ҡабатлауҙың ассоциативлығы. Теләһә ниндәй $a,b,c\in \mathbb {R}$ өсөн

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

${\text{I}}_{7}.$ Берәмектең булыуы. Берәмек тип аталған шундай $1\in R$ элементы бар, теләһә ниндәй $a\in R$ өсөн

$a\cdot 1=a$

${\text{I}}_{8}.$ Кире элементтың булыуы. Теләһә ниндәй $a\in \mathbb {R} ,a\neq 0$ өсөн $1/a$ тип тамғаланған һәм $a$-ға кире тип аталған шундай $a^{-1}\in \mathbb {R}$ элементы бар, бында

$a\cdot a^{-1}=1$

${\text{I}}_{9}.$ Ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлыҡ законы. Теләһә ниндәй $a,b,c\in \mathbb {R}$ өсөн

$a\cdot (b c)=a\cdot b a\cdot c$

${\text{I}}_{10}.$ Яландың тривиаль булмауы. Берәмек һәм ноль — $\mathbb {R}$-ҙың төрлө элементтары:

$1\neq 0$

Тәртип аксиомалары

$\mathbb {R}$ элементтары араһында $\leqslant$ бәйләнеше билдәләнгән, йәғни $\mathbb {R}$-ҙан алынған теләһә ниндәй тәртипкә килтерелгән $a,b$ элементтар парына $a\leqslant b$ бәйләнеше үтәләме әллә юҡмы икәнлеге билдәләнгән. Шуның менән бергә түбәндәге үҙсәнлектәр дөрөҫ.

${\text{II}}_{1}.$ Рефлексивлыҡ. Теләһә ниндәй $a\in \mathbb {R}$ өсөн

$a\leqslant a$

${\text{II}}_{2}.$ Антисимметриялыҡ. Теләһә ниндәй $a,b\in \mathbb {R}$ өсөн

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

${\text{II}}_{3}.$ Транзитивлыҡ. Теләһә ниндәй $a,b,c\in \mathbb {R}$ өсөн

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

${\text{II}}_{4}.$ Һыҙыҡлы тәртипкә килтерелгәнлек. Теләһә ниндәй $a,b\in \mathbb {R}$ өсөн

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

${\text{II}}_{5}.$ Ҡушыу һәм тәртиптең бәйләнеше. Теләһә ниндәй $a,b,c\in \mathbb {R}$ өсөн

$(a\leqslant b)\Rightarrow (a c\leqslant b c)$

${\text{II}}_{6}.$Ҡабатлау һәм тәртиптең бәйләнеше. Теләһә ниндәй $a,b\in \mathbb {R}$ өсөн

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Өҙлөкһөҙлөк аксиомалары

${\text{III}}_{1}.$ Теләһә ниндәй ике $a\in A$ һәм $b\in B$ элементтары өсөн $a\leqslant b$ тигеҙһеҙлеге үтәлгән, буш булмаған $A\subset \mathbb {R}$ һәм $B\subset \mathbb {R}$ күмәклектәре ниндәй генә булмаһын, шундай $\xi \in \mathbb {R}$ һаны бар, бында бөтә $a\in A$ һәм $b\in B$ өсөн түбәндәге нисбәт дөрөҫ

$a\leqslant \xi \leqslant b$

Ысын һандарҙың бөтә билдәле үҙсәнлектәрен сығарыу өсөн был аксиомалар етерлек.

Хәҙерге алгебра телендә беренсе төркөм аксиомалары, $\mathbb {R}$ күмәклегенең ялан булыуын аңлата. Икенсе төркөм аксиомалары — $\mathbb {R}$ күмәклегенең Һыҙыҡлы тәртипкә килтерелгән күмәклек булыуын аңлата (${\text{II}}_{1}$ — ${\text{II}}_{4}$), шуның менән бергә тәртип бәйләнеше ялан структураһы менән ярашлы ${\text{II}}_{5}$ — ${\text{II}}_{6}$. Беренсе һәм икенсе төркөм аксиомаларын ҡәнәғәтләндергән күмәклектәр тәртипкә килтерелгән ялан тип аталалар. Аҙаҡ килеп, бер аксиоманан торған һуңғы төркөм, ысын һандар күмәклеге өҙлөкһөҙлөк үҙсәнлегенә эйә булыуын раҫлай, уны шулай уҡ тулылыҡ тип тә атайҙар. Йомғаҡлап, ысын һандар күмәклегенә эквивалентлы билдәләмә бирергә мөмкин.

Билдәләмә. Ысын һандар күмәклеге тип өҙлөкһөҙ тәртипкә килтерелгән ялан атала.

Ысын һандар күмәклегенең башҡа аксиомалар системаһы

Ысын һандар күмәклеген башҡа аксиомалаштырыу ысулдары ла бар. Мәҫәлән, өҙлөкһөҙлөк аксиомалары урынына ${\text{III}}_{1}.$ уға эквивалентлы булған башҡа теләһә ниндәй шартты, йәки шарттар төркөмөн файҙаланырға була. Мәҫәлән, Гильберт тәҡдим иткән аксиомалар системаһында, ${\text{I}}$ һәм ${\text{II}}$ төркөм аксиомалары, асылда, шул уҡ юғарыла килтерелгәндәр кеүек, ә ${\text{III}}_{1}$ аксиомаһы урынына түбәндәге ике шарт файҙаланыла:

${\text{III}}_{1}'.$ Архимед аксиомаһы. $a>0$ һәм $b>0$ булһын, ти. Ул саҡта $a$ элементын ҡушылыусы итеп, һөҙөмтәлә килеп сыҡҡан сумма $b$ һанынан артып китерлек итеп ҡабатларға була:

$a a \ldots a>b$

${\text{III}}_{2}'.$ Тулылыҡ аксиомаһы (Гильберт мәғәнәһендә). $\mathbb {R}$ системаһын, $\mathbb {R}$-ҙың элементтары араһында элекке нисбәттәр һаҡланғанда, $\mathbb {R} ^{*}$ өсөн бөтә ${\text{I}}$—${\text{II}}$, ${\text{III}}_{1}'.$ аксиомалар үтәлерлек итеп, бер ниндәй ҙә $\mathbb {R} ^{*}$ системаһына тиклем киңәйтеү мөмкин түгел .

Шулай итеп, түбәндәге эквивалентлы билдәләмә бирергә була:

Билдәләмә. Ысын һандар күмәклеге максималь тәртипкә килтерелгән Архимед яланы ул

Ысын һандарҙы аксиомалаштырыуҙың башҡа миҫалы сифатында 8 аксиоманан тоған Тарский аксиоматикаһын килтерергә була.

Үҙсәнлектәре

Рациональ һандар менән бәйләнеше

Билдәле булыуынса, һанлы тура һыҙыҡта рациональ һандар ысын һандар менән аралашып урынлашҡандар, шуның менән бергә ысын һандар күмәклеге рациональ һандар күмәклегенән «тығыҙыраҡ». Законлы һорау тыуа, һанлы тура һыҙыҡта рациональ һәм ысын һандар ни хәтле йыш осрайҙар һәм бер һандарҙы икенселәре менән яҡынайтып буламы. Был һорауға яуапты, башлысаАрхимед аксиомаһына нигеҙләнгән өс лемма бирә

Лемма 1. Теләһә ниндәй ысын һан һәм теләһә ниндәй алдан алынған ыңғай рациональ алыҫлыҡ өсөн, бер-береһенән был алыҫлыҡтан бәләкәйерәк алыҫлыҡта ятҡан шундай рациональ һандар пары бар, ысын һан был рациональ һандар араһындағы киҫектә ятасаҡ.

$\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{ }~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )$

Был лемма шуның тураһында әйтә, теләһә ниндәй ысын һанды бирелгән аныҡлыҡ менән ике яҡтан рациональ һандар менән яҡынайтып була.

Лемма 2. Теләһә ниндәй төрлө ике ысын һан араһында рациональ һан бар.

$\forall a,b\in \mathbb {R} :~a<b~\exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b$

Был лемманың асыҡ эҙемтәһе булып, теләһә ниндәй ике тап килмәгән ысын һан араһында сикһеҙ күмәклек рациональ һандар булыу факты тора. Бынан тыш, тағы ла асығыраҡ күренеүенсә, теләһә ниндәй төрлө ике рациональ һан араһында ысын һан бар.

Лемма 3. 1 леммала тасуирланған ысын һанды рациональ һандар менән яҡынайтыу, ысын һанды берҙән бер итеп таныта.

$\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{ }~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\Rightarrow a=b$

Был леммалар иң беренсе нәүбәттә, ысын һандар күмәклеге, рациональ һандар күмәклеге менән сағыштырғанда, күренергә мөмкин булғанса бик үк «тығыҙ» түгел икәнлекте һөйләй. Быны бигерәк тә 2 лемма асыҡ иллюстрациялай. Бөтә өс лемма ла ысын һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән бәйле төрлө теоремаларҙы иҫбатлағанда әүҙем ҡулланылалар.

Теоретик-күмәклек үҙсәнлектәре

Иң баштан ысын һандар рациональ һандарҙың тәбиғи дөйөмләшеүе булып торалар, ләкин тәүләп уларҙың иҫәпле булмау үҙсәнлеге асыҡлана, был ысын һандар күмәклеген нумерлап булмауҙы, йәғни ысын һандар һәм натураль һандар күмәклектәре араһында биекцияның булмауын аңлата. Бөтә ысын һандар күмәклегенең иҫәпле булмауын күрһәтеү өсөн, интервалдың иҫәпле булмауын күрһәтеү етә $\left(0,1\right)$.

Бирелгән аралыҡтың бөтә һандары ла берәй нисек нумерланған икән, ти. Ул саҡта уларҙы түбәндәге күренештә теҙеп яҙырға була:

$x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots$

$x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots$

$\cdots$

$x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots$

$\cdots$

Бында $a_{ij}$ — $i$-сы һандың $j$-сы цифры. Күренеүенсә, күрһәтелгән күренештәге бөтә һандар ҙа ысынлап та ҡаралған аралыҡҡа инәләр, әгәр тик һәр һанда бөтә цифрҙар ҙа бер үк ваҡытта нулдәр йәки туғыҙҙар булмаһалар.

Артабан түбәндәге һанды ҡарарға тәҡдим ителә:

$x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots$

Был һандың һәр цифры $d_{i}$ түбәндәге өс үҙсәнлекте ҡәнәғәтләндерһен, ти:

• $d_{i}\neq 0$
• $d_{i}\neq 9$
• $d_{i}\neq a_{ii}$

Ундай һан ысынлап та күрһәтелгән аралыҡта бар, сөнки ул ысын һан, нуль менән дә, берәмек менән дә тап килмәй, ә унарлы цифрҙары, өсөнсө үҙсәнлек үтәлер өсөн етерлек. Бынан тыш, $x$ шул факт менән ҡыҙыҡлы, ул юғарыла яҙылған $x_{j}$ һандарҙың береһе менән дә тап килмәй, сөнки башҡаса $x$ һанының $j$-сы цифры $x_{j}$ һанының $j$-сы цифры менән тап килер ине. Беҙ ҡараған аралыҡтың һандары нисек кенә нумерланған булмаһын, был аралыҡта барыбер номер бирелмәгән һан табыла тигәндән ғибәрәт ҡапма-ҡаршылыҡҡа килдек.

Был шуны белдерә, ысын һандар күмәклеге иҫәпле түгел. Уның ҡеүәте континуум ҡеүәте тип атала.

Ысын һандар күмәклеген киңәйтеү

Математик анализдың күп кенә ҡушымталарында ысын һандарҙың киңәйтелгән күмәклеген ${\overline {R}}$ ҡулланыу уңайлы, ул шулай уҡ киңәйтелгән һанлы күсәр тип тә атала һәм ул түбәндәге ысулдарҙың береһе менән $R$ ысын һандар күмәклегенә сикһеҙ алыҫтағы нөктә өҫтәлеп килеп сыға.

• Тамғалы ике сикһеҙлек менән: ${\overline {R}}=R\cup \{ \infty \}\cup \{-\infty \}$,
• Тамғаһыҙ бер сикһеҙлек менән: ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$.

Беренсе билдәләмәлә телгә алынған $\infty$ һәм $-\infty$ тамғалы сикһеҙлектәр, модуле буйынса сикһеҙ үҫә барыусы ярашлы рәүештә ыңғай йәки тиҫкәре һандар эҙмә-эҙлелектәренең сикләмәләре булып торалар. Икенсе билдәләмәлә тамғаһыҙ сикһеҙлек телгә алына $\infty$, ҡайһы берҙә $\pm \infty$ тип тамғалана, ул модуле буйынса сикһеҙ үҫә барыусы һандар (ирекле тамғалы) эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе булып тора. $\infty$ символы менән тамғаһыҙ сикһеҙлек тә, ыңғай сикһеҙлек тә $\infty$ тамғаланырға мөмкин булыуын билдәләп китәйек. Ғәҙәттә контекстан ниндәй сикһеҙлек тураһында һүҙ барғаны, йәки уның әһәмиәте юҡ икәне аңлашыла.

Ысын һандарҙы дөйөмләштереү

$\mathbb {R}$ ысын һандар яланы математикала һәр саҡ дөйөмләштереү сығанағы булып торҙо, шуның менән бергә төрлө практик яҡтан мөһим йүнәлештәрҙә. $\mathbb {R}$ яланына туранан-тура дөйөмләштерелгән һандар системаһының түбәндәге варианттары килеп тоташа.

1. Комплекслы һандар. Бигерәк тә алгебрала һәм анализда һөҙөмтәле.
2. Интервал һандар. Башлыса яҡынса иҫәпләүҙәр теорияһында һәм ихтималлыҡ теорияһында ҡулланыла.
3. Стандарт булмаған анализ, ул ысын һандарға сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙур (төрлө тәртиптәге) һандарҙы өҫтәй.

Ғәмәли ҡулланылышы

Ысын һандарҙың математик моделе фәндә һәм техникала өҙлөкһөҙ үҙгәреп торған дәүмәлдәрҙе үлсәү өсөн бөтә ерҙә лә ҡулланыла. Әммә был уның төп ҡулланылышы түгел, сөнки реаль үлсәнгән дәүмәлдәрҙең һәр ваҡыт сикле һандағы унарлы тамғалары була, йәғн рациональ һандар булалар. Был моделдың төп тәғәйенләнеше — аналитик тикшеренеү ысулдарының базаһы булып хеҙмәт итеү. Был ысулдарҙың һуңғы өс быуаттағы ҙур уңыштары ысын һандар моделының күпселек осраҡта өҙлөкһөҙ физик дәүмәлдәр структураһын етерлек дәрәжәлә адекватлы сағылдырыуын күрһәтә. Әйтелгәндәр, әлбиттә, ысын һандар тура һыҙығы реаль өҙлөкһөҙ дәүмәлдең аныҡ образы булыуын аңлатмай. Мәҫәлән, хәҙерге фәнгә арауыҡ һәм ваҡыт дискретлымы әллә сикһеҙ бүленеүсәнме икәне әлегә билдәле түгел. Әммә хатта икенсе осраҡта ла был дәүмәлдәр өсөн ысын һандар моделе яҡынса итеп ҡаралырға тейеш, сөнки арауыҡ нөктәһе һәм ваҡыт моменты төшөнсәләре реаль аналогы булмаған идеаллаштырыу булып торалар. Был фундаменталь мәсьәлә Зенон парадокстарынан башлап фәндә киң тикшерелә.

Шулай уҡ ҡара

• Ысын һандар күмәклегенең өҙлөкһөҙлөгө
• Һандар теорияһы
• Десятичный разделитель
• Комплекслы һан
• Супер ысын һан
• Гипер ысын һан
• Прямая Александрова
• Прямая Суслина

Әҙәбиәт

Ҡулланылған әҙәбиәт

• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.

• Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

• Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М.: МИР, 1986. — 432 с.

• Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.

• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1.

• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.

• Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).

• А. Н. Колмогоров К обоснованию теории вещественных чисел // УМН. — 1946. — В. 1(11). — Т. 1. — С. 217–219.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.

• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — Т. 1. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6.

• Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.

• Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.

• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4.

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X.

Рекомендуемая литература

из истории становления понятия вещественного числа:

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970) 2018 йыл 25 ноябрь архивланған.
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970) 2011 йыл 18 сентябрь архивланған.
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972) 2017 йыл 24 март архивланған.

Подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:

• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика.

Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:

• Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.

также, прекрасное изложение теории Дедекинда имеется в классическом учебнике:

• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X.

Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах:

• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.

аксиоматическое изложение теории вещественного числа можно найти в книгах:

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М.: «МЦНМО», 2002. — 657 с. — ISBN 5-94057-056-9.

Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в «Дополнении VI. О понятии числа» в следующем издании классической работы:

• Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie. — пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.