Infinitu

Infinitu
	conceutu matemáticu
	cardinalidad (es)

El conceutu de infinitu apaez en delles cañes de la matemática, la filosofía^[1] y l'astronomía,^[2] en referencia a una cantidá ensin llende o final, contrapuestu al conceutu de finitud.^[3]

En matématicas l'infinitu apaez de diverses formes: en xeometría, el puntu al infinitu en xeometría proyectiva y el puntu de fuga en xeometría descriptiva; n'analís matemáticu, los Llende d'una función llendes infinitos, o llendes al infinitu; y en teoría de conxuntos como númberos transfinitos.

Teoría de conxuntos

Los conxuntos finitos tienen una propiedá "intuitiva" que los caracteriza; dada una parte mesma de los mesmos, ésta contién un númberu d'elementos menor que tol conxuntu. Esto ye, nun puede establecese una biyección ente una parte mesma del conxuntu finito y tol conxuntu. Sicasí, esa propiedá "intuitiva" de los conxuntos finitos nun la tienen los conxuntos infinitos, y formalmente dicimos que:

Un conxuntu $A\;$ ye infinitu si esiste un subconxuntu propiu $B\;$ de $A\;$ , esto ye, un subconxuntu $B\subset A$ tal que $A\neq B$ , tal qu'esiste una biyección $f:A\to B$ ente $A\;$ y $B\;$ .

La idea de cardinalidad d'un conxuntu basar na noción anterior de biyección. De dos conxuntos ente los que puede establecese una biyección dizse que tienen la mesma cardinalidad. Pa un conxuntu finito el so cardinalidad puede representase por un númberu natural. Por exemplu, el conxuntu {mazana, pera, durazno} tien 3 elementos. Esto significa de manera más formal que puede establecese una biyección ente tal conxuntu y el númberu 3 que ye'l conxuntu {0,1,2}:

{\begin{matrix}{\mbox{Mazana}}&\leftrightarrow &0\\{\mbox{Pera}}&\leftrightarrow &1\\{\mbox{Durazno}}&\leftrightarrow &2\end{matrix}}

Dichu d'otra forma, ye posible faer pareyes (0, mazana), (1, pera), (2, durazno) de cuenta que cada elementu de los dos conxuntos utilícese esautamente una vegada. Cuando ye posible establecer tal rellación "unu a unu" ente dos conxuntos dizse que dambos conxuntos tienen la mesma cardinalidad, lo cual, pa conxuntos finitos, equival a que tengan el mesmu númberu d'elementos.

Primer definición positiva de conxuntu infinitu

La primer definición positiva de conxuntu infinitu foi dada por Georg Cantor y básase na siguiente observación: Si un conxuntu S ye finito y T ye un subconxuntu propiu, nun ye posible construyir una biyección ente S y T. Por exemplu, si S = {1,2,3,4,5,6,7,8} y T = {2,4,6,8} nun ye posible construyir una biyección ente S y T, porque de ser asina tendríen la mesma cardinalidad (el mesmu númberu d'elementos).

Un conxuntu ye infinitu si ye posible atopar un subconxuntu propiu del mesmu que tenga la mesma cardinalidad que'l conxuntu orixinal. Consideremos el conxuntu de los númberos naturales N={1,2,3,4,5,...}, que ye un conxuntu infinitu. Pa verificar tal afirmación ye necesariu atopar un subconxuntu propiu y construyir una biyección ente dambos. Pa esti casu, consideremos el conxuntu d'enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conxuntu P ye un subconxuntu propiu de N, y la regla de asignación $n\to 2n$ ye una biyección:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}N&\leftrightarrow &P\\1&\leftrightarrow &2\\2&\leftrightarrow &4\\3&\leftrightarrow &6\\4&\leftrightarrow &8\end{bmatrix}}.

yá que a tou elementu de N correspuénde-y un únicu elementu de P y viceversa.

Númberos ordinales infinitos

Los númberos ordinales sirven pa notar una posición nun conxuntu ordenáu (primer, segundu, tercer elementu ...). L'exemplu más elemental ye'l de los númberos naturales, que se definen rigorosamente asina: Nótase $0\,$ el conxuntu vacíu:

$0=\{\}=\varnothing$

nótase $1\,$ el conxuntu que namái contién $0\,$ :

$1=\{0\}=\{\varnothing \}$

depués nótase $2\,$ el conxuntu que namái contién $0\,$ y $1\,$ :

$2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$

Y asina socesivamente:

$3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\qquad (n 1)=n\bigcup \{n\}$

Por construcción, 0 ta incluyíu en 1, quién de la mesma ta incluyíu en 2, yá que obviamente:

$n\subseteq n\bigcup \{n\}=(n 1)$

La inclusión dexa convertir a los ordinales nun conxuntu bien ordenáu (dos elementos distintos siempres pueden comparase, y añadiendo la igualdá daría un orde total) ente estos conxuntos que se prefier, por costume, escribir "<", lo que da les rellaciones 0 < 1 < 2 < 3. Dicir qu'un ordinal ye menor (puramente) qu'otru significa, cuando se-yos considera a dambos como conxuntos, que ta incluyíu nel otru.

Si a y b son ordinales, entós aOb, la unión de los conxuntos, tamién ye un ordinal. En particular, si son ordinales finitos (conxuntos finitos) correspondientes a los naturales a y b, entós aOb correspuende al mayor de los dos, a o b. Polo xeneral, si los conxuntos a_i son ordinales, onde i toma tolos valores d'un conxuntu I, entós a = Oa_i tamién lo será. Y si el conxuntu I nun ye finito, tampoco lo será a. Asina vamos llograr ordinales (esto ye númberos) infinitos.

Acabamos de cayer nuna "trampa", al falar de conxuntu finito ensin definir el conceutu. Pa definilo rigorosamente, tenemos de comparalo colos ordinales. Dos conxuntos bien ordenaos A y B son isomorfos (con rellación al orde) si esiste una biyección f ente dambos que respeta l'orde: si a < a' en A, entós f(a) < f(a) en B. Resulta obviu constatar que si A ye un conxuntu ordenáu con n elementos (n enteru natural) entós A ye isomorfu a_n = {0, 1, 2, ..., n-1}. Basta con renombrar cada elementu de A pa llograr A = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n-1}. Un isomorfismu ye puramente un cambéu d'apelación. Vamos Dicir qu'un ordinal ye finito si caúna de les sos partes non vacíes tien un elementu máximu. Polo tanto tou natural ye un ordenal finito. La intuición diznos que nun hai otros ordenales finitos. Lóxicamente, vamos dicir qu'un conxuntu ordenáu ye finito si ye isomorfu a un ordinal finito, esto ye a un natural.

Pa introducir los ordinales infinitos, ye precisu dar agora la definición exacta d'un ordinal:

Un conxuntu A totalmente ordenáu (pola inclusión) ye un ordinal si y namái si cada elementu d'A ye tamién un subconxuntu d'A

Yá vimos que ye'l casu pa los naturales: Por exemplu, el conxuntu 2 = {0, 1} almite 1= {0}, como elementu y polo tanto tamién como subconxuntu.

Tou conxuntu bien ordenáu ye isomorfu a un ordinal. Esto ye obviu nel casu finito, y amuésase por inducción transfinita que lo ye nel casu infinitu. Esto ye, renombrando los elementos d'un conxuntu bien ordenáu siempres llogramos un ordinal.

Primer ordinal infinitu

Yá vimos qu'una unión cualesquier d'ordinales ye un ordinal. Si tomamos una unión finita d'ordinales finitos, fabricamos un ordinal finito. Pa llograr el primer ordinal infinitu tenemos qu'axuntar un númberu non finito d'ordinales finitos. Faciéndolo, siempres cayemos nel mesmu conxuntu, construyíu al axuntar tolos ordinales finitos, ye dicir los naturales. El conxuntu de tolos naturales, ℕ, ye pos el primer ordinal infinitu, lo que nun tendría de sorprender, y notar nesti contestu ω (omega).

Pa visualizar los ordinales, resulta bien práuticu representar cada unu por un puntu d'una socesión creciente converxente, como por casu o_n = 1 - 1/(n 1). Esto da daqué asemeyáu a:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........

Escoyamos un puntu de la socesión, y miremos cuantos puntos tán más a la izquierda. Nel exemplu, hai cuatro, y polo tanto tratar d'o₄, lo que correspuende al ordinal 4. Pa representar l'ordinal w, resulta natural añader a la socesión previa un puntu 'O' asitiáu esautamente na llende de la socesión:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O

A la izquierda d'o_w hai una infinidá de puntos, polo tanto w ye infinitu. Pero si escoyemos a cualesquier otru puntu de la socesión a la so esquierda, yá nun ye'l casu, lo cual prueba que w ye'l primer ordinal infinitu. Dempués de w llega w 1, w 2 ... que se representen añadiendo a la derecha unu dos o más puntos, primeramente distantes, y depués más cercanos ente sigo:

X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X

L'últimu puntu dibuxáu correspuende a w 2.

Más xeneralmente, pa sumar dos ordinales A y B camúdense los nomes de los elementos por que sían toos distintos, depués xúntense los conxuntos A y B, poniendo B a la derecha d'A ye dicir imponiendo que cada elementu de B seya mayor que tolos d'A. Asina construyimos w 1, ... y asina podemos construyir 1 w: Notemos Y el elementu de 1, y X los de w:

Y__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...

Salta a la vista que w y 1 w son bien paecíos. De fechu la función x →x - 1 realiza un isomorfismu ente ellos (1 w tien dos elementos llamaos 0: 0_A y 0_B. El primeru fai'l papel de -1 na función). Polo tanto correspuenden al mesmu ordinal: 1 w = w. Mas nun ye'l casu de w 1, que ye distintu de w porque'l so el conxuntu w 1 tien un elementu máximu (l'O del dibuxu) ente que'l conxuntu w nun lo tien (la llende de los naturales nun ye un natural).

El puntu w (l'O del dibuxu) nun tien antecesor, ye dicir que nun esiste un n tal que n 1=w: dizse que w ye una ordinal llende. Cero tien tamién esta propiedá pero nun merez esta apelación. Como w 1 ≠ 1 w, la adición nun ye conmutativa nos ordinales.

Constrúyese de la mesma w w que se nota lóxicamente 2w. La multiplicación definir a partir de la adición como pa los naturales.

Una vegada que se representó nw, con n natural, nun resulta demasiáu difícil imaxinar lo que va ser w.w, escritu w². Depués puede definise wⁿ, con n natural, y, tomando la llende, w^w, tien tantos elementos como la recta real.

La socesión $\omega ^{\omega ^{{\dots }^{\omega }}}$ tien como llende $\varepsilon _{0}$ .

Númberos cardinales infinitos

El cardinal d'un conxuntu ye'l númberu d'elementos que contién. Esta noción ye polo tanto distinta del ordinal, que caracteriza'l llugar d'un elementu nuna socesión. "Cinco" difier de "quintu" anque obviamente esiste una rellación ente dambos. Dizse que dos conxuntos tienen el mesmu cardinal si esiste una biyección ente ellos. Contrariamente a los ordinales, esta biyección nun tien que respetar l'orde (amás los conxuntos nun tienen que ser ordenaos).

Como yá tenemos un surtíu de conxuntos -los ordinales- veamos los sos tamaños (esto ye los sos cardinales) respeutivos. Nun ye nenguna sorpresa que los ordinales finitos tamién son cardinales: ente dos conxuntos con n y m elementos, m y n distintos, nun puede haber biyección, polo tanto tienen cardinales distintos. Pero nun ye'l casu colos ordenales infinitos: Por exemplu, $\omega$ y $\omega 1$ tán en biyección pola función:

\omega  1\to \omega

x\to x 1

y

\omega \to 0

, tal biyección nun respeta l'orde, por eso dos ordinales distintos pueden corresponder a un mesmu cardinal.

Suelse notar |A| el cardinal d'A. Llámase $\aleph _{0}$ (alef₀) el cardinal de w, esto ye del conxuntu de los naturales (onde alef ye la primer lletra del alfabetu hebréu).

Si A y B son conxuntos, entós $\scriptstyle |A\times B|=|A|\cdot |B|$ , onde x designa'l productu cartesianu de los conxuntos, y "·" ye'l productu de los cardinales definíos por esta fórmula. El conxuntu de les partes d'un conxuntu A, P(A) ta en biyección col conxuntu de les funciones d'A escontra {0,1}, conxuntu que d'escribe 2^A, como casu particular de Y^X que denota el conxuntu de les aplicaciones de X escontra Y.

El cardinal de R, conxuntu de los reales, ye polo tanto 2^alef₀, porque R ta en biyección coles partes de N, per mediu de la escritura decimal de los reales.

Nun puede decidise, colos axomes clásicos (los de la teoría de los conxuntos, fundamentos de la matemática), si esiste un cardinal mayor que alef₀ y menor que 2^alef₀, ye dicir si esiste un conxuntu con más elementos que N pero con menos elementos que R. La hipótesis del continuu, que ye un axoma adicional, afirma que non.

Analís matemáticu

Un conxuntu de númberos reales S ye acutáu superiormente si esiste un númberu c (la cota) tal que c ye mayor que tou elementu de S (Por exemplu, si S={π ; 7 ; ${\sqrt {2}}\,\!$ } entós S ye un conxuntu acutáu, una y bones el númberu c=10 cumple que π<10, 7<10, ${\sqrt {2}}\,\!$ <10). Cuando un conxuntu nun ye acutáu, pa cualquier númberu c ye posible atopar $x\in S$ de cuenta que c < x. El conceutu d'infinitu introduzse como una cota especial pa esti tipu de conxuntos. Esti conceutu d'infinitu representar col símbolu $\infty$ .

Tamién ye utilizáu nel analís matemáticu cuando quier espresase que los términos d'una socesión ordenada, o los valores que toma una función al tomar la variable dependiente valores cercanos a unu fitu primeramente "diverxe" ("tiende a infinitu", o'l so llende ye infinitu). Nesti contestu, considérase $\infty \,\!$ pa representar a la llende que tiende a infinitu y $0\,\!$ a la llende cuando tiende a 0; y non al númberu 0).

Pa recordar les regles de llende suelse entós allegar a les siguientes regles nemotecnies: (equí "x" representa un n° real cualesquier)

$x \infty =\infty \,\!$ y $x (-\infty )=(-\infty )\,\!$

$x-\infty =-\infty \,\!$

$x-(-\infty )=\infty \,\!$

${x \over \infty }=0$ , ${x \over -\infty }=0$

Si $x>0\,\!$ , $x\cdot \infty =\infty$ y $x\cdot (-\infty )=(-\infty )$ .

Si $x<0\,\!$ entós $x\cdot \infty =-\infty$ y $x\cdot (-\infty )=\infty$ .

$\infty \infty =\infty ,\qquad (-\infty ) (-\infty )=-\infty$

$\infty \cdot \infty =\infty ,\qquad (-\infty )(-\infty )=\infty$

Llendes indeterminaes (nun ye posible determinar a priori el so valor como nel restu de los exemplos, nun hai un valor asignáu):

0\cdot \infty \,

0\cdot (-\infty )\,

\infty  (-\infty )\,

\infty -\infty \,

{\pm \infty  \over \pm \infty }\,

{(\pm \infty )}^{0}\,

1^{\pm \infty }\,

Infinitu n'informática

De manera rellacionada col infinitu pa númberos reales, dalgunos llinguaxes de programación almiten un valor especial que recibe'l nome de infinitu: valor que puede llograse como resultáu de ciertes operaciones matemátiques non realizables, tales como les descrites nel puntu anterior o operaciones teóricamente posibles, pero demasiáu complexes pal so trabayu nel ordenador/llinguaxe en cuestión. N'otros llinguaxes a cencielles produciríase un error.

Historia

El símbolu d'infinitu

Los oríxenes del símbolu d'infinitu $\infty$ son inciertos. Puesto que la forma asemeyar a la curva lemniscata (del llatín lemniscus, ye dicir cinta), suxirióse que representa un llazu zarráu.

Tamién se cree posible que la forma provenga d'otros símbolos alquímicos o relixosos, como por casu ciertes representaciones de la culiebra uróboros. El matemáticu John Wallis foi'l primeru n'usar el símbolu $\infty$ pa representar al infinitu nel so tratáu De sectionibus conicus en 1655.

Quíxose ver tamién una banda de Möbius na so forma, anque'l símbolu usar mientres cientos d'años primero que August Möbius afayara la banda que lleva'l so nome.

El símbolu d'infinitu representar en Unicode col calter ∞ (U 221E).

**Cronoloxía**^[4]
Añu	Acontecimientu
350 e.C.	Aristóteles refuga un infinitu real.
1639	Gérard Desargues introduz la idea del infinitu na xeometría.
1655	Atribuyir a John Wallis ser el primeru n'utilizar el símbolu ${\infty }$ pal infinitu.
1874	Georg Cantor especifíca, na teoría de conxuntos, distintos órdenes d'infinitu.

Ver tamién

Referencies

↑ Monnoyeur, Francoise (1995). L'infinitu de los matemáticos, l'infinitu de los filósofos (Infini des mathématiciens, infini des philosophes). Paris: Belin. ISBN 978-2701110189.
↑ Monnoyeur, Francoise (1999). L'Infinitu de los filósofos, l'infinitu de los astrónomos (Infini des philosophes, infini des astronomes). Paris: Belin. ISBN 978-2701115207.
↑ Fedriani, Eugenio M. (2010). «Matemátiques del más allá: l'infinitu». Unión: Revista Iberoamericana d'Educación Matemática 21: p. 37-58. ISSN 1815-0640. http://www.fisem.org/web/union/revistes/21/Union_021_008.pdf.
↑ Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

Más información

Manolios, Panagiotis & Vroon, Daron. Algorithms for ordinal arithmetic. Baader, Franz (ed), 19th International Conference on Automated Deduction--CADE-19. Pages 243-257 of LNAI, vol. 2741. Springer-Verlag.

[1] Monnoyeur, Francoise (1995). L'infinitu de los matemáticos, l'infinitu de los filósofos (Infini des mathématiciens, infini des philosophes). Paris: Belin. ISBN 978-2701110189.

[2] Monnoyeur, Francoise (1999). L'Infinitu de los filósofos, l'infinitu de los astrónomos (Infini des philosophes, infini des astronomes). Paris: Belin. ISBN 978-2701115207.

[3] Fedriani, Eugenio M. (2010). «Matemátiques del más allá: l'infinitu». Unión: Revista Iberoamericana d'Educación Matemática 21: p. 37-58. ISSN 1815-0640. http://www.fisem.org/web/union/revistes/21/Union_021_008.pdf.

[50COSES-4] Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[1]

[2]

[3]

[4]