Cálculu diferencial

El cálculu diferencial ye una parte del analís matemáticu que consiste nel estudiu de cómo camuden les funciones cuando los sos variables camuden. El principal oxetu d'estudiu nel cálculu diferencial ye la derivada. Una noción estrechamente rellacionada ye la d'una diferencia L'estudiu del cambéu d'una función ye d'especial interés pal cálculu diferencial, en concretu'l casu nel que'l cambéu de les variables ye infinitesimal, esto ye, cuando dichu cambéu tiende a cero (faise tan pequeñu como se deseye). Y ye que'l cálculu diferencial sofítase constantemente nel conceutu básicu de la llende. El pasu a la llende ye la principal ferramienta que dexa desenvolver la teoría del cálculu diferencial y la que lo estrema claramente de la álxebra. Dende'l puntu de vista matemáticu de les funciones y la xeometría, la derivada d'una función nun ciertu puntu ye una midida de la tasa na cual una función camuda conforme un argumentu modifícase. Esto ye, una derivada arreya, en términos matemáticos, una tasa de cambéu. Una derivada ye'l cálculu de les rimaes instantánees de $f(x)$ en cada puntu $x$ . Esto correspuende a les pendientes de les tanxentes de la gráfica de dicha función nos sos puntos (una tanxente por puntu); Les derivaes pueden ser utilizaes pa conocer la cuéncanu d'una función, los sos intervalos de crecedera, los sos máximos y mínimos. La inversa d'una derivada llámase primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Diferenciación y diferenciabilidad

Una función d'una variable ye diferenciable nun puntu $x$ si la so derivada esiste nesi puntu; una función ye diferenciable nun intervalu si ser en cada puntu $x$ perteneciente al intervalu. Si una función nun ye continua en c, entós nun puede ser diferenciable en c; sicasí, anque una función seya continua en c, puede nun ser diferenciable. Esto ye, toa función diferenciable nun puntu c ye continua en c, pero non toa función continua en c ye diferenciable en c (como f(x) = |x| ye continua, pero non diferenciable en x = 0).

Noción de derivada

Recta secante ente los puntos f(x h) y f(x).

Les derivaes defínense tomando la llende de la rimada de les rectes secantes conforme van averándose a la recta tanxente. Ye difícil topar direutamente la rimada de la recta tanxente d'una función porque namái se conoz un puntu d'ésta, el puntu onde hai de ser tanxente a la función. Por ello, avérase la recta tanxente por rectes secantes. Cuando se tome la llende de les rimaes de les secantes próximes, va llograse la rimada de la recta tanxente.

Pa llograr estes rimaes, tómese un númberu arbitrariamente pequeñu que se va denominar h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivu como negativu. La rimada de la recta ente los puntos $\scriptstyle (x,f(x))\,$ y $\scriptstyle (x h,f(x h))\,$ ye

$f(x h)-f(x) \over h$

Esta espresión ye un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x ye la llende del valor del cociente diferencial conforme les llinies secantes avérense más a la tanxente:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x h)-f(x) \over h}$

Si la derivada de f esiste en cada puntu x, ye posible entós definir la derivada de f como la función que'l so valor nel puntu x ye la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultáu una división per cero, calcular la derivada direutamente puede ser pocu intuitivu. Una téunica consiste en simplificar el numberador de cuenta que la h del denominador pueda atayase. Esto resulta bien senciellu con funciones polinómiques, pero pa la mayoría de les funciones resulta demasiáu complicáu. Afortunadamente, hai regles xenerales que faciliten la diferenciación de la mayoría de les funciones descrites enantes compónse de númberos y figures xeométriques y va rellacionáu cola hestoria.

El cociente diferencial alternativu

La derivada de f(x) (tal como la definió Newton) describióse como la llende, conforme h averar a cero. Una esplicación alternativa de la derivada puede interpretase a partir del cociente de Newton. Si utiliza la fórmula anterior, la derivada en c ye igual a la llende conforme h averar a cero de [f(c h) - f(c)] / h. Si déxase que h = x - c (poro, c h = x), entós x averar a c (conforme h tiende a cero). Asina, la derivada ye igual a la llende conforme x averar a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición utilizar pa una demostración parcial de la regla de la cadena.

Funciones de delles variables

Pa funciones de delles variables $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ , les condiciones de diferenciabilidad son más estrictes y riquen más condiciones aparte de la esistencia de derivaes parciales. En concretu, ríquese la esistencia d'un aproximamientu llinial a la función na redolada d'un puntu. Dada una base vectorial, esti aproximamientu llinial vien dada pola matriz jacobiana:

$\lim _{\|\mathbf {h} \|\to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} \mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} (\mathbf {x_{0}} )\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0}$

Historia

Los problemes comunes que dieron orixe al cálculu infinitesimal empezaron a plantegase na dómina clásica de l'antigua Grecia (Sieglu III e.C.), con conceutos de tipu xeométricu como'l problema de la tanxente a una curva d'Apolonio de Perge, pero nun s'atoparon métodos sistemáticos de resolución sinón hasta'l sieglu XVII, gracies a los trabayos d'Isaac Newton y de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Ellos dos sintetizaron dos conceutos y métodos usaos polos sos predecesores no que güei se denomina «diferenciación» y «integración». Desenvolvieron regles pa manipoliar les derivaes (regles de derivación) y demostraron que dambos conceutos yeren inversos (teorema fundamental del cálculu).

Dende'l sieglu XVII, munchos matemáticos contribuyeron al cálculu diferencial. Nel sieglu XIX, el cálculu tomó un estilu más rigorosu, por cuenta de matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Foi tamién mientres esti periodu cuando'l cálculu diferencial xeneralizar al espaciu euclideu y al planu complexu.

Aplicaciones importantes del cálculu diferencial

Recta tanxente a una función nun puntu

La recta tanxente a una función f(x) ye como se vio la llende de les rectes secantes cuando unu de los puntos de corte de la secante cola función faise tender escontra l'otru puntu de corte. Tamién puede definise a la recta tanxente como'l meyor aproximamientu llinial a la función nel so puntu de tangencia, esto ye, la recta tanxente ye la función polinómica de primer grau que meyor avera a la función llocalmente nel puntu de tangencia consideráu.

Si conoz la ecuación de la recta tanxente T_a(x) a la función f(x) nel puntu a puede tomase T_a(x) como un aproximamientu razonablemente bona de f(x) nes proximidaes del puntu a. Esto quier dicir que, si toma un puntu a h y evalúase tantu na función como na recta tanxente, la diferencia $f(a h)-T(a h)$ va ser despreciable frente a h en valor absolutu si h tiende a cero. Cuanto más cerca téase del puntu a tantu más precisa va ser l'aproximamientu de f(x).

Pa una función f(x) derivable llocalmente nel puntu a, la recta tanxente a f(x) pol puntu a ye:

T_a(x)= f(a) f '(a)(x-a).

Usu de les derivaes pa realizar gráficos de funciones

Les derivaes son una ferramienta útil pa esaminar les gráfiques de funciones. En particular, los puntos nel interior d'un dominiu d'una función de valores reales que lleven a dicha función a un estremu local van tener una primer derivada de cero. Sicasí, non tolos puntos críticos son estremos locales. Por casu, f(x)=x³ tien un puntu críticu en x=0, pero nesi puntu nun hai un máximu nin un mínimu. El criteriu de la primer derivada y el criteriu de la segunda derivada dexen determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o nengunu.

Nel casu de dominios multidimensionales, la función va tener una derivada parcial de cero con al respective de cada dimensión nun estremu local. Nesti casu, la prueba de la segunda derivada puede siguise utilizando pa carauterizar a los puntos críticos, considerando'l eigenvalor de la matriz Hessiana de les segundes derivaes parciales de la función nel puntu críticu. Si tolos eigenvalores son positivos, entós el puntu ye un mínimu local; si toos son negativos, entós ye un máximu local. Si hai dellos eigenvalores positivos y dellos negativos, entós el puntu críticu ye un puntu siella, y si nun se cumple nengunu d'estos casos, la prueba ye non concluyente (esto ye, los engeivalores son 0 y 3).

Una vegada que s'atopen los estremos locales, ye muncho más fácil faese d'una burda idea de la gráfica xeneral de la función, yá que (nel casu del dominiu monodimensional) va amontase o decrementará uniformemente sacante nos puntos críticos, y por ello (suponiendo'l so continuidá) va tener valores entemedios ente los valores nos puntos críticos de cada llau.

Aproximamientu llocal de Taylor

Ye posible entós averar por aciu la so recta tanxente a una función derivable llocalmente nun puntu. Si cumplir que la función ye abondo nidia nel puntu o dominiu d'estudiu (esto ye, la función ye de clase $\scriptstyle C^{n}$ ), entós puede averase la función non por polinomios de grau unu, sinón por polinomios de grado dos, trés, cuatro y socesivamente. Esti aproximamientu recibe'l nome de «desenvolvimientu polinómico de Taylor» y defínese de la siguiente manera:

P(x)=f(a) {\frac {f'(a)}{1!}}(x-a) {\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2} {\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3} \cdots  {\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}

Onde P(x) ye'l polinomiu de grau n que meyor avera a la función nel puntu x=a. Nótese que, si evalúase P(x) en x=a, tolos términos salvu'l f(a) anúlense; depués, P(a) = f(a). Nótese tamién que la ecuación de la recta tanxente del apartáu anterior correspuende al casu nel que n=1.

Cuando a = 0, el desenvolvimientu denominar desenvolvimientu de MacLaurin. Na práutica, la mayoría de les vegaes empleguen desarrollos de MacLaurin. Exemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

y^{x}\approx 1 {\frac {x}{1!}} {\frac {x^{2}}{2!}} {\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{4}}{4!}} {\frac {x^{5}}{5!}} \cdots

\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}} \cdots

\ln(1 x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2}} {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}} \cdots

Nótese'l símbolu $\approx$ que denota aproximamientu, non igualdá. Si la función a averar ye infinitamente derivable ( $\scriptstyle C^{\infty }$ ) y amiéstense infinitos términos al desenvolvimientu, entós el $\approx$ convertir nun $=$ y el desenvolvimientu anterior convertir nuna serie de Taylor. Les funciones que son igual a la so serie de Taylor denominar funciones analítiques.

Cálculu de puntos

Dada una función y= f(x) onde x pertenez al intervalu zarráu [a,b] de númberos reales y y ye un númberu real:

{\begin{array}{rccl}f:&[a,b]\subset \mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}

podemos estremar los siguientes de puntos:^[1]:

Puntos críticos

Por puntu críticu entender por un puntu singular o estacionariu.

Puntos singulares

Son puntos singulares los valores nos que la derivada de la función: f'(x), presenta dalgún tipu de discontinuidá.

Puntos estacionarios

Denominar puntu estacionariu a los valores de la variable nos que s'anula la derivada f'(x) d'una función f(x), esto ye, si f´(x)=0 en x₁, x₂, x₃, . . ., x_n. Entós, x₁, x₂, x₃, . . ., x_n son puntos estacionarios de f(x).

Los valores f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . ., f(x_n), llámense valores estacionarios.

Si la segunda derivada ye positiva nun puntu estacionarios, dizse que'l puntu ye un mínimu local; si ye negativa, dizse que'l puntu ye un máximu local; si val cero, pue ser tantu un mínimu como un máximu o un puntu d'inflexón. Derivar y resolver nos puntos críticos suel ser una forma simple d'atopar máximos y mínimos locales, que pueden emplegase n'optimización. Sicasí, nunca hai que despreciar los estremos en dichos problemes.

Xeneralización del cálculu diferencial

Cuando una función depende de más d'una variable, utilízase'l conceutu de derivada parcial. Les derivaes parciales pueden pensase informalmente como tomar la derivada d'una función con al respective de una d'elles, calteniendo les demás variables constantes. Les derivaes parciales represéntense como:

${\frac {\partial }{\partial x}}$

Onde $\partial$ ye una 'd' arrondada conocida como 'símbolu de la derivada parcial'.

El conceutu de derivada puede estendese de forma más xeneral. El filo común ye que la derivada nun puntu sirve como un aproximamientu llinial a la función en dichu puntu. Quiciabes la situación más natural ye que les funciones sían diferenciables nes variedaes. La derivada nun ciertu puntu entós conviértese nuna tresformamientu llinial ente los correspondientes espacio tangente, y la derivada de la función convertir nun mapeo ente los grupo tangente.

Pa estremar toles funciones continues y muncho más, puede definise el conceutu de distribución. Pa les funciones complexes d'una variable complexa, la diferenciabilidad ye una condición muncho más fuerte que la simple parte real ya imaxinaria de la función estremada con al respective de la parte real ya imaxinaria del argumentu. Por casu, la función $f(x {\mathrm {i} }y)=x 2{\mathrm {i} }y$ satisfai lo segundo, pero non lo primero. Ver tamién la función holomórfica.

Ver tamién: diferintegral.

Daes les funciones, de valor real, y dambes con dominiu, el problema consiste en topar los valores máximos o mínimos (valores estremos) de cuando s'acuta a tomar valores nel conxuntu.

Ver tamién

Referencies

↑ (2000) Diccionariu de ciencies, 1 (en castellanu), Editorial Complutense, páx. 564. ISBN 84-89784-80-9.

Calculus of a Single Variable: Early Trescendental Functions (3a edición) por Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler y Ron Larson (2003).
Calculus (2a edición) por Michael Spivak.
Calculus Early Trascendentals (6a edición) por James Stewart.
Principios d'Analís Matemáticu por Enrique Linés Escardo.

Enllaces esternos

Wikiversidá contién proyeutos d'aprendizaxe sobre Cálculu diferencial.
Wikillibros tien un llibru o manual sobre cálculu diferencial.
Llibru de cálculu diferencial ya integral Archiváu 2012-07-04 en Wayback Machine (so llicencia llibre Creative Commons)
WIMS Calculador de funciones fai'l cálculu de derivaes en llinia
Cálculu Diferencial ya Integral nuna Variable (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). (llibru gratuitu)

[1] (2000) Diccionariu de ciencies, 1 (en castellanu), Editorial Complutense, páx. 564. ISBN 84-89784-80-9.

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