Abelse kategorie

'n Abelse kategorie is in wiskunde 'n kategorie waarin morfismes en objekte bymekaar gevoeg kan word en waarin kerne en kokerne bestaan en gewenste eienskappe besit. Die motiverende prototipe voorbeeld van 'n abelse kategorie is $\mathbf {Ab}$, die kategorie van abelse groepe. Die teorie het sy oorsprong in 'n tentatiewe poging deur Alexander Grothendieck om vele kohomologieteorieë te verenig. Abelse kategorieë is baie stabiel as kategorieë; hulle is byvoorbeeld reëlmatig en hulle bevredig die slangelemma. Die klas van abelse kategorieë is geslote onder 'n aantal kategoriese konstruksies; die kategorie van kettingkomplekse van 'n abelse kategorie, of die kategorie van funktors van 'n klein kategorie tot 'n abelse kategorie is byvoorbeeld ook abels. Hierdie stabiliteitseienskappe maak hulle onvermydelik in onder andere homologiese algebra; die teorie het belangrike toepassings in algebraïese geometrie, kohomologie en suiwere kategorieteorie. Abelse kategorieë is vernoem na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel

Definisies

'n Kategorie is abels wanneer:

• dit 'n nulvoorwerp bevat,
• dit alle binêre produkte en koprodukte bevat, en
• alle monomorfismes en epimorfismes normaal is.

Hierdie definisie is ekwivalent aan die volgende stuksgewyse definisie:

• 'n Kategorie is preadditief as dit oor die monoïdale kategorie $\mathbf {Ab}$ van abelse groepe verryk is. Dít bedoel dal alle hom-versamelings abelse groepe is en die komposisie van morfismes bilineêer is.
• 'n Preadditiewe kategorie is additief as elke eindige versameling objekte 'n biproduk het. Dít bedoel dat ons eindige direkte somme en direkte produkte kan vorm.
• 'n Additiewe kategorie is preabels as elke morfisme beide 'n kern en 'n kokern het.
• Laastens, 'n preabelse kategorie is abels as elke monomorfisme en elke epimorfisme normaal is. Dít bedoel dat elke monomorfisme die kern van een of ander morfisme is, en elke epimorfisme die kokern van een of ander morfisme is.

Let wel dat die verrykte struktuur op hom-versamelings 'n gevolg is van die drie aksiome van die eerste definisie. Dít beklemtoon die fundamentele relevansie van die kategorie van abelse groepe in die teorie en sy kanonieke aard.

Die konsep van presiese reeks kom natuurlik in hierdie opset na vore en dit blyk dat presiese funktors, d.i. die funktors wat presiese reeks in verskeie opsigte preserveer, is die relevante funktors tussen abelse kategorieë. Hierdie konsep van presiesheid is in die teorie van presiese kategorieë geaksiomatiseer, wat dit 'n spesiale geval van reëlmatige kategorieë maak.

Voorbeelde

• Soos hierbo genoem, is die kategorie van alle abelse groepe 'n abelse kategorie. Die kategorie van alle eindig gegenereerde abelse groepe is ook 'n abelse kategorie; so-ook is die kategorie van alle eindige abelse groepe.
• Indien $R$ 'n ring is, dan is die kategorie van alle links- of regsmodule oor $R$ 'n abelse kategorie. Trouens, dit kan gewys word dat enige klein abelse kategorie ekwivalent is aan 'n volle subkategorie van só 'n kategorie van module (Mitchell se insluitingsstelling).
• Indien $R$ 'n links-noetherse ring is, dan is die kategorie van eindig gegenereerde linksmodule oor $R$ abels. In die besonder is die kategorie van eindig gegenereerde module oor 'n noetherse kommutatiewe ring abels; op hierdie wyse verskyn abelse kategorieë in kommutatiewe algebra.
• As spesiale gevalle van die twee vorige voorbeelde: die kategorie van wektorruimtes oor 'n vasgemaakte veld $K$ is abels; so-ook is die kategorie van eindig dimensionele wektorruimtes oor $K$.
• Indien $X$ 'n topologiese ruimte is, dan is die kategorie van alle (reële of komplekse) wektorbundels op $X$ nie noodwendig 'n abelse kategorie nie, aangesien daar monomorfismes kan wees wat nie kerne is nie.
• Indien $X$ 'n topologiese ruimte is, dan is die kategorie van alle gerwe van abelse groepe op $X$ 'n abelse kategorie. In die algemeen is die kategorie van gerwe van abelse groepe op 'n Grothendiek-gebied 'n abelse kategorie. Op hierdie wyse verskyn abelse kategorieë in algebraïese topologie en algebraïese geometrie.
• Indien $\mathbf {C}$ 'n klein kategorie en $\mathbf {A}$ 'n abelse kategorie is, dan is die kategorie van alle funktors van $\mathbf {C}$ na $\mathbf {A}$ 'n abelse kategorie. Indien $\mathbf {C}$ klein en preadditief is, dan is die kategorie van alle additiewe funktors van $\mathbf {C}$ na $\mathbf {A}$ ook 'n abelse kategorie. Laasgenoemde is 'n veralgemening van die $R$-moduulvoorbeeld, aangesien 'n ring as 'n preadditiewe kategorie met 'n enkele objek beskou kan word.

Grothendieck se aksiome

In sy Tôhoku-artikel lys Grothendieck vier bykomende aksiome (en hul duale) wat 'n abelse kategorie $\mathbf {A}$ mog veragsaam. Hierdie aksiome is vandag nog in algemene gebruik. Hulle is die volgende:

• (AB3) Vir elke versameling ${A_{i}}$ van objekte van $\mathbf {A}$ bestaan die koproduk $*A_{i}$ in $\mathbf {A}$ (d.i. $\mathbf {A}$ is kovolledig).
• (AB4) $\mathbf {A}$ bevredig (AB3) en die koproduk van 'n familie van monomorfismes is 'n monomorfisme.
• (AB5) $\mathbf {A}$ bevredig (AB3) en gefiltreerde kolimiete van presiese reekse is presies,

en hul duale:

• (AB3*) Vir elke versameling ${A_{i}}$ van objekte in $\mathbf {A}$ bestaan die produk $\mathbf {PA} _{i}$ in $\mathbf {A}$ (d.i. $\mathbf {A}$ is volledig).
• (AB4*) $\mathbf {A}$ bevredig (AB3*) en die produk van 'n familie van epimorfismes is 'n epimorfisme.
• (AB5*) $\mathbf {A}$ bevredig (AB3*) en gefiltreerde limiete van presiese reekse is presies.

Aksiome (AB1) en (AB2) is ook gegee. Dit is hulle wat 'n additiewe kategorie abels maak. Spesifiek:

• (AB1) Elke morfisme het 'n kern en 'n kokern.
• (AB2) Vir elke morfisme $f$ is die kanonieke morfisme ${\text{coim}}f\to {\text{im}}f$ 'n isomorfisme.

Grothendieck het ook aksiome (AB6) en (AB6*) aangegee.

Elementêre eienskappe

Gegewe enige paar $A$, $B$ van objekte in 'n abelse kategorie is daar 'n spesiale nulmorfisme van $A$ na $B$. Dít kan gedefinieer word as die nulelement van die hom-versameling ${\text{Hom}}(A,B)$, aangesien dit 'n abelse groep is. Dit kan alternatief as die unieke komposisie $A\to 0\to B$ gedefinieer word, waar $0$ die nulobjek van die abelse kategorie is.

In 'n abelse kategorie kan elke morfisme $f$ as die komposisie van 'n epimorfisme gevolg deur 'n monomorfisme geskryf word. Hierdie epimorfisme word die kobeeld van $f$ genoem, terwyl die monomorfisme die beeld van $f$ genoem word.

Subobjekte en kwosiëntobjekte is goed gedraend in abelse kategorieë. Die parsiële geordende versameling van subjobekte van enige gegewe objek $A$ is byvoorbeeld 'n begrensde rooster.

Elke abelse kategorie $\mathbf {A}$ is 'n moduul oor die monoïdale kategorie van eindig gegenereerde abelse groepe; dit is, ons kan 'n tensorproduk van 'n eindig gegenereerde abelse groep $G$ en enige objek $A$ van $\mathbf {A}$ vorm. Die abelse kategorie is ook 'n komoduul; ${\text{Hom}}(G,A)$ kan as 'n objek van $\mathbf {A}$ geïnterpreteer word. Indien $\mathbf {A}$ volledig is, kan ons die vereiste dan $G$ eindig gegenereerd is, verwyder; ons kan in die algemeen finitêre verrykte limiete in $\mathbf {A}$ vorm.

Verwante konsepte

Abelse kategorieë is die algemeenste opset vir homologiese algebra. Al die konstruksies wat in daardie veld gebruik word, soos presiese reekse en veral kort presiese reekse en afgeleide funktors, is relevant. Belangrike stellings wat in alle abelse kategorie van toepassing is, sluit in die vyflemma (en die kort vyflemma as spesiale geval), asook die slangelemma (en die negelemma as 'n spesiale geval).

Geskiedenis

Abelse kategorieë is deur Buchsbaum (1955, onder die naam "presiese kategorie") en Grothendieck (1957) bekendgestel om verskeie kohomologieteorieë te verenig. Ter tyde was daar 'n kohomologieteorie vir gerwe en 'n komologieteorie vir groepe. Die twee is verskillend gedefinieer, maar hulle het eenderse eienskappe besit. Trouens, 'n groot gedeelte van kategorieteorie is ontwikkel as 'n taal om hierdie ooreenkomste te bestudeer. Grothendieck het die twee teorieë verenig: hulle beide verskyn as afgeleide funktors op abelse kategorieë, as die abelse kategorie van gerwe van abelse groepe op 'n topologiese ruimte, en as die abelse kategorie van $G$-module vir 'n gegewe groep $G$.

Verwysings

• Buchsbaum, D. A. (1955), "Exact categories and duality", Transactions of the American Mathematical Society 80 (1): 1–34, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947 
• Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row, http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html 
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal. Second Series 9: 119–221, ISSN 0040-8735, http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839 
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press 
• Popescu, N. (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press