Hikiopisto:Uusi matematiikka

Toivottavasti nautit hikikurssistamme. Hikiopiston etusivulta voit etsiä lisää kursseja. Myös Hikiopisto-luokka on pullollaan tuikihyödyllistä oppimismateriaalia.

Uusi matematiikka muodostaa aksioomia ja todistuksia, joiden tulokset ovat sellaisia, että rajoittuneet maallikot eivät voi niitä hyväksyä. Myöskään rajoittuneet matematiikanopettajat harvemmin osaavat näin syvällistä matematiikkaa ja väittävät, että SINÄ olet laskenut väärin. Vaikka oikeasti ainut, joka on laskenut väärin, on kokeen tekijä!

Todistus: 1 = -1

• Aloitetaan

  [math]\displaystyle{ -1 = -1 }[/math]

• Tehdään näistä "vulgar fraction"

  [math]\displaystyle{ \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1} }[/math]

• Neliöjuuri molemmin puolin antaa

  [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} }[/math]

• Joka on samanarvoinen kuin:

  [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} }[/math]

• Nyt kerromme molemmat puolet [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} }[/math] ja sitten [math]\displaystyle{ \sqrt{1} }[/math], jonka seurauksena syntyy

  [math]\displaystyle{ \sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} }[/math]

• Tiedämme, että mikä tahansa numero, josta otetaan neliöjuuri, josta otetaan toisen potenssi, antaa alkuperäisen numeron, joten

  [math]\displaystyle{ 1 = -1 }[/math]

M.O.T.

Toinen tapa:1 = -1

[math]\displaystyle{ 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1 }[/math]

Kolmas todistus 1 = -1

[math]\displaystyle{ -1 = (-1)^3 = (-1)^\frac{6}{2} = ((-1)^6)^\frac{1}{2} = 1^\frac{1}{2} = 1 }[/math]

Nurin päin: -1 = 1

[math]\displaystyle{ \cos^2x =1-\sin^2x }[/math]

[math]\displaystyle{ (\cos^2x)^\frac{3}{2}=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\cos^3x)=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2} }[/math]

otetaan x=180°.

[math]\displaystyle{ LHS=-1, RHS=(1-0)^\frac{3}{2}=1 }[/math]

jolloin

[math]\displaystyle{ -1=1 }[/math]

Todistus: 1 < 0

• Oletetaan, että

  [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt 1 }[/math]

• Nyt otamme logaritmin molemmilta puolilta. Niin kauan kun x > 0, voimme tehdä näin, koska logaritmit ovat monotoonisesti kasvavia. Havaitsemme, että log 1 = 0, ja saamme

  [math]\displaystyle{ \ln (x) \lt 0 }[/math]

Samalla unohdamme, ettei nollaa voida jakaa puolittain sekä unohdamme ottaa logaritmin nollasta. Seuraa käsienheiluttelua, joka näyttää viisaalta, mutta mikä ei perustu mihinkään.

• Jakamalla ln (x) saamme

  [math]\displaystyle{ 1 \lt 0 }[/math]

MOT.

Todistus: 2 = 1

• a ja b ovat nollasta poikkeavia yhtä suuria lukuja

  [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

• Kerrotaan molemmat puolet a:lla

  [math]\displaystyle{ a^2 = ab }[/math]

• Vähennetään [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]

  [math]\displaystyle{ a^2 - b^2 = ab - b^2 }[/math]

• Jaetaan tekijöihin

  [math]\displaystyle{ (a - b)(a b) = b(a - b) }[/math]

• Jaetaan [math]\displaystyle{ (a - b) }[/math]

  [math]\displaystyle{ a b = b }[/math]

• Havaitsemme että [math]\displaystyle{ a = b }[/math]
• Havaitsemme myös ettei [math]\displaystyle{ a = b }[/math] pidä paikkaansa, koska [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math].

Tämän jälkeen osiossa seuraa käsienheiluttelua, mikä ei johda mihinkään.

• [math]\displaystyle{ b b = b }[/math]

• Yhdistetään samanlaiset termit vasemmalla

  [math]\displaystyle{ 2b = b }[/math]

• Jaetaan 0 poikkeavalla b:llä

  [math]\displaystyle{ 2 = 1 }[/math]

Todistus: Mikä tahansa luku = 0

• Valitaan a ja b siten, että ne ovat mitkä tahansa kaksi yhtä suurta nollasta poikkeavaa lukua.

  [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

• Kerrotaan a

  [math]\displaystyle{ a^2 = ab }[/math]

• Vähennetään [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]

  [math]\displaystyle{ a^2 - b^2 = ab - b^2 }[/math]

• Jaetaan molemmat puolet tekijöihin

  [math]\displaystyle{ (a - b)(a b) = b(a - b) }[/math]

• Jaetaan (a - b)

  [math]\displaystyle{ a b = b }[/math]

• Vähennetään b molemmilta puolilta

  [math]\displaystyle{ a b - b = b - b }[/math]

• Kun b - b = 0 ja b - b = 0

  [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]

MOT.

Todistus: a = b

• a ja b ovat mitä tahansa lukuja.

  [math]\displaystyle{ a - b = c }[/math]

• Kerrotaan a - b:

  [math]\displaystyle{ (a - b)(a - b) = (a - b)c }[/math]

• Ratkaistaan kertolaskut:

  [math]\displaystyle{ a^2 - 2ab b^2 = ac - bc }[/math]

• Uudelleenjärjestetään kaikki ja saamme:

  [math]\displaystyle{ a^2 - ab - ac = ab - b^2 - bc }[/math]

• Jaetaan tekijöihin:

  [math]\displaystyle{ a(a - b - c) = b(a - b - c) }[/math]

• Poistetaan yhteinen tekijä

  [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

MOT!

Todistus: 0 = 1

• Aloitetaan sillä, että 0 saadaan, kun summataan yhteen ääretön määrä nollia.
• 0 = 0 0 0 ...
• Sitten huomataan, että [math]\displaystyle{ 0 = 1 - 1 }[/math]
• 0 = (1 - 1) (1 - 1) (1 - 1) ...
• Yhdistämme edelliset kaksi lausetta (liitännäisyys) ja korvaamme äärettömän nollien summan jälkimmäisellä nollasäännöllä.

  [math]\displaystyle{ 0 = 1 (-1 1) (-1 1) (-1 1) \cdots }[/math]

• Ja tietenkin [math]\displaystyle{ -1 1 = 0 }[/math]

  [math]\displaystyle{ 0 = 1 0 0 0 \cdots }[/math]

• Ja kun jätämme merkitsemättä 0:t, jotka eivät vaikuta summan kokoon, jää jäljelle ainoastaan

[math]\displaystyle{ 0 = 1 }[/math]

MOT!

• Unohdamme myös merkitä lopussa sijaitsevan -1:n, joka vaikuttaa suhteellisen ratkaisevasti summan kokoon, joka kokonaisuudessaan on

[math]\displaystyle{ 0 = 1 - 1 }[/math]

MOT! ":D"

t. hikipedia on paras :D ja matikkanerot :D

Todistus: 2 = 1

• 4 * 3 = 3 3 3 3
• Kun x on nollasta poikkeava, on myös

  [math]\displaystyle{ x = 1 1 \cdots 1 }[/math] (x termiä)

• Nyt kerromme x:llä molemmat puolet

  [math]\displaystyle{ x^2 = x x \cdots x }[/math] (x termiä)

• Otamme derivaatan x:n suhteen

  [math]\displaystyle{ 2x = 1 1 \cdots 1 }[/math] (x termiä)

  [math]\displaystyle{ 2x = x }[/math]

• Lopuksi jaamme nollasta poikkeavalla x:llä.

  [math]\displaystyle{ 2 = 1 }[/math]

MOT

Toinen todistus:

[math]\displaystyle{ -2 = -2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 - 6 = 1 - 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 - 6 9/4 = 1 - 3 9/4 }[/math]
[math]\displaystyle{ (2 - 3/2)^2 = (1 - 3/2)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 - 3/2 = 1 - 3/2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 = 1 }[/math]

Todistus: i² = 1

• [math]\displaystyle{ i = \sqrt{-1} }[/math]

• Neliöjuuret molemmista puolista

  [math]\displaystyle{ i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} }[/math]

<- ei pidä paikkaansa :< Neliöjuurien sisällä olevia lukuja ei voi kertoa toisillaan, ja [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}^2 = -1 }[/math]

• Otetaan toiset potenssit

  [math]\displaystyle{ i^2 = \sqrt{1} }[/math]

• neliöjuuri 1stä on 1

  [math]\displaystyle{ i^2 = 1 }[/math]

MOT.

Todistus: 4 = 5

• [math]\displaystyle{ -20 = -20 }[/math]

• Esitetään molemmat puolet hieman eri tavalla – kuitenkin niin, että yhtäsuuruus säilyy.

  [math]\displaystyle{ 25 - 45 = 16 - 36 }[/math]

• Jaetaan molemmat puolet tekijöihin

  [math]\displaystyle{ 5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9 }[/math]

• Summataan sama luku molemmille puolille

  [math]\displaystyle{ 5^2 - 5 \times 9 \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 \frac{81}{4} }[/math]

• Nyt jaetaan molemmat puolet uudestaan

  [math]\displaystyle{ \left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2 }[/math]

• Otetaan neliöjuuri molemmista puolista

  [math]\displaystyle{ 5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2} }[/math]

• Poistetaan yhteinen termi

  [math]\displaystyle{ 5 = 4 }[/math]

MOT!

Todistus: 0 × ∞ = 1

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x} \times x) = \lim_{x\to \infty} 1 = 1 }[/math]

• Toisaalta voimme laskea raja-arvot erikseen:

  [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x} \times x) = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} \times \lim_{x\to \infty} x }[/math]

  [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0 }[/math]

  [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} x = \infty }[/math]

• Yhdistämällä tulokset saadaan

  [math]\displaystyle{ 1 = 0 \times \infty }[/math]

MOT.

Katso myös

• Hikikirjasto:Kausaaliset yhtälöt