Integral

Nota: Este artigo está entupido de fórmulas inúteis. Se você odeia equações ou odeia encontrar o x, clique aqui.

Este artigo é relacionado à matemática. Não estranhe se o artigo mencionar coisas como apótema, hessiano ou elipse.

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Integrei pra Deu∫!
Aluno de Engenharia sobre as notas da prova de integrais
ZIVUDEU!!!!
Professora de Cálculo sobre a relação entre alunos e integrais
Fui eu que fiz!
Paulo Maluf sobre integrais
Teria sido melhor ver o filme do Pelé!
Chaves sobre a aula de integrais

Segundo os nerds matemáticos, você só vai poder calcular a área cinza usando integrais.

A Integração, muitas vezes representada pelo famigerado e temido ∫, é a uma das piores operações que se pode fazer em Cálculo (como o Cálculo só tem três operações mesmo, as outras são o Limite e a Derivada), muito utilizada para rodar levas inteiras de peões alunos de Engenharia e Matemática, embora alguns estudiosos digam que a Integral tem uma grande importância na determinação de áreas abaixo de funções^{[carece de fontes]}. A tortura O processo de criar integrais chama-se dar à luz integração. Para identificar de longe se se trata de uma integral, basta observar:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx=F(x) C }[/math]

Se aquele s alongado aparecer, trate de ficar desgraçado da cabeça, pois ali está uma integral à espreita e pronta para ser resolvida.

Integrais e áreas curvas

Arquimedes, ao terminar de encontrar a área do pênis dele pelo método da exaustão.

Desde os tempos pré-Dercyanos os nerds, estudiosos e cientistas procuravam fórmulas fáceis e rápidas para calcular áreas que não possuíam formulas específicas, como a área de uma bola de futebol americano, a área ocupada pela bunda da tua mãe ou mesmo a área total da mancha de cerveja derramada no sofá por você. O primeiro destes métodos foi criado por um grego vagabundo filósofo (pleonasmo?), e se chama Método da Exaustão, que consistia em dividir a área que se queria saber em mais de oito mil retângulos e calcular a área deles. Isso explica o nome deste método, que foi abandonado devido à incapacidade dos ábacos em somar numeros maiores que cem.

Com o nascimento de grandes nerds cérebros, tais quais Newton e Leibiniz, que desenvolveram novos métodos de achar estas áreas, o método da exaustão foi deixado de lado (um dos motivos é porque o método da exaustão sempre dava valores nas coxas, mas nunca ninguém deu bola pra isso). Com a criação do Cálculo renal por parte dos desocupados supracitados, descobriu-se uma maneira mais fácil^{[carece de fontes]} de calcular as referidas áreas, necessitando apenas que elas possuam uma equação.

E, da mesma forma como criaram o Cálculo Diferencial, Newton e Leibiniz inventaram o Cálculo Integral, com todos os formalismos e enchimentos de linguiça possíveis, tudo isso apenas para dar assunto durante as aulas e também para poder cobrar coisas a mais na prova, como se o básico já não fosse suficiente. Depois de Newton e Leibiniz, apareceu um tal de Riemann, que desenvolveu plena e gloriosamente o conceito de integral.

Integral de Riemann

Uma integral de Riemann. Agora trate de calcular as áreas dos retângulos.

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Bernard He-Man Riemann era o pupilo mais querido, bajulado, adorado e sodomizado de Gauss, o deus da matemática. Como pupilo mais querido, foi o que deu o maior fruto a seu mestre: desenvolveu ele mesmo o conceito de integral (claro que o conceito dele tinha falhas, mas, em 1800 e pau com corda, só com ábacos, até que esse cara fez demais). Riemann desenvolveu sua integral por meio de somas de retângulos que englobam a região a ser calculada, mostrando a grande criativdade de seu raciocínio. Segundo Riemann, a fórmula seria:

[math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i 1}-x_i)-s\right|\lt \varepsilon }[/math]

Onde:

• n = número de retângulos na área
• x = a base dos retângulos
• t_i = altura dos retângulos (que pode variar, ou seja, vai dar um baita trabalho)

Uma das aplicações da Integral de Riemann.

A fórmula acima apenas serve para os alunos dizerem em alto e bom som MAS QUE PORRA É ESSA? AAAAAAAAAAAA!! , pois nem mesmo o próprio Riemann soube explicar esses hieróglifos. No entanto, Gauss, por meio de uma gambiarra matemática, conseguiu provar que esta integral ecziste e que ela servia para alguma coisa a mais além de ferrar com os alunos de cálculo. Com isto seu pupilo foi reconhecido como criador da integral e a partir de sua denominação desenvolveu-se o método de integração que se usa em qualquer lugar, desde o Acre^{[carece de fontes]} até o inferno.

O conceito furado de integral proposta por Riemann será muito útil para calcular integrais definidas, onde o domínio é restrito a valores que você não gostaria de calcular nem fodendo. Essas integrais definidas, pela suruba de sinais e outros aspectos, serão tratadas em volume seção posterior.

Processos de Integração

Assim como na outra operação do Cálculo (a diferenciação) existem regras para jogar integrar. Dentre as mais de oito mil regras que existem e que a sua professora de Cálculo irá te obrigar a decorar só porque vai cair na prova, estão:

• Integral de uma constante: a integral de uma contante é a constante vezes a variável mais a constante C. Exemplo:

[math]\displaystyle{ \int a\ dx = a.x C }[/math]

Um processo de integração bem sugestivo.

OBS: Se a constante for zero, então só sobra mesmo a constante C e zivudeu o x:

[math]\displaystyle{ \int 0\ dx = C }[/math]

• Regra da ImPotência: De forma análoga à regra da derivada, na integral o expoente é somado de um e a porra toda é dividida pelo novo expoente:

[math]\displaystyle{ \int x^{n}\ dx = \frac{x^{n 1}}{n 1} C }[/math]

OBS (porra, outra observação?): No entanto, se o expoente do x for -1 (menos um), a coisa complica, pois não se pode dividir por zero. Então, os nerds matemáticos chegaram a seguinte conclusão (e não venha você pedir o porque da conclusão ser esta, a não ser que queira que o pau coma):

[math]\displaystyle{ \int x^{-1}\ dx = ln|x| C }[/math]

• Regra do Múltiplo Constante: O múltiplo fica na frente, multiplicando toda a integral que está atrás:

[math]\displaystyle{ \int k.f(x)\ dx = k.\int f(x) \ dx C }[/math]

• Regra da Função Exponencial Natural: por ser a sem-graça, sua integral será ela mesma, acrescida da contanste maldita:

[math]\displaystyle{ \int e^{x}\ dx = e^{x} C }[/math]

• Regra da Soma: uma integral de somas é igual à soma das integrais (WTF?):

[math]\displaystyle{ \int [f(x) g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx \int g(x) \ dx C }[/math]

• Regra da Diferença: uma integral de diferenças é a diferença das integrais (O RLY?):

[math]\displaystyle{ \int [f(x) - g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx - \int g(x) \ dx C }[/math]

• Regra da Substituição: de forma análoga á regra da cadeia, na regra da substituição deve-se escolher uma parte da porra toda, dar o nome de uma letra a ela, e calcular a derivada desta função, para depois colocar no lugar do dx, com o nome de d(nome da letra). Deve-se prestar atenção, pois se depois da substituição ainda houver algum x, então, ou tu fez merda, ou essa regra não serve. Como exemplo:

[math]\displaystyle{ \int x.(4x^{2} 7)\ dx }[/math]

Admitindo que [math]\displaystyle{ u = 4x^{2} 7 }[/math] e que [math]\displaystyle{ u' = 8x }[/math], realizamos a substituição:

Exercício resolvido a fim de encontrar a Constante arbitrária de integração (vulgo C).

[math]\displaystyle{ \int x.u \ du.\frac{1}{8x} = \frac{1}{8}. \int u\ du = \frac{1}{8}.\frac{u^{2}}{2} C = \frac{(4x^{2} 7)^{2}}{16} C }[/math]

Como se pode perceber, esta é uma operação completamente simples e fácil de resolver, embora a sua Professora de Cálculo, sabiamente vá dizer que é um proceso dificílimo e altamente descabelante.

• Regra da Integração por Partes: processo preferido por Jack, o estripador, é muito utilizada onde a regra da substituição não funciona, saba-se lá por que motivo. Geralmente essa regra é utilziada por produtos de funções sem costumes, que se resumem numa suruba. Esta regra é a recíproca da regra do produto para derivadas, que é:

[math]\displaystyle{ D[f(x).g(x)] = f(x).g'(x) g(x).f'(x)\, }[/math]

Admitindo que f(x) = u, f'(x) = dx, g(x)= v e g'(x) = dv e integrando dos dois lados, a fórmula fica:

[math]\displaystyle{ \int \frac{u.v}{dx}\ dx = \int u\ dv \int v\ du\, }[/math]

Como derivada e integral se matam cancelam, e, rearranjando a conta, chegamos a:

[math]\displaystyle{ \int u\ dv = u.v - \int v\ du C \, }[/math]

Esta é a formula que você terá de usar e se foder para conseguir calcular inegrais por partes. E, se durante a resolução, aparecer outra integral por partes, terá de repetir o processo, MWAHAHAHAHAHA!

Constante arbitrária de Integração

O problema ao se integrar é o fato de que sempre se criará uma constante C, que é conhecida e registrada em cartório como Constante arbritária de integração. É este numerozinho do capeta que irá discernir umas integrais das outras. Seu uso, no entanto é apenas utilizado para rodar alunos por serem burros desatentos, entre outros pega-ratões.

Essa constante é fruto do processo inverso à diferenciação onde um valor sem varíavel some durante a diferenciação. Então, ao integrar, você tem de ressucitar reescrever este valor. E, como nunca se sabe este valor, coloca-se outra letra, geralmente o famoso C. O grande problema de se calcular esta constante está em saber o valor da integral em um determinado valor da variável. Sem isso, você não é capaz de calcular o C nem fodendo.

Integral definida

A integral definida é a integral que, quando resolvida, deverá obrigatoriamente dar um número, sem x em porra nenhuma. Ela se torna definida quando os limites inferior e superior de integração são definidos. No entanto, estes limites nada mais são do que valores de x e a área entre esses números é o que você pretende calcular. A notação de uma integral definida é:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \ dx = \int [f(b) - f(a)] = ? }[/math]

Partícula descrevendo uma trajetória ao redor de um buraco afro. A distância percorida é a integral de linha desta curva maldita.

Onde:

• a é o limite inferior de integração, ou seja, onde começa a área que você está tentando calcular;
• b é o limite superior de integração, que é onde termina a maldita referida área;

Para calcular a área destas integrais, é apenas preciso descontar o limite inferior do superior, o que dará na área. Não se preocupe com a constante C, pois, nas integrais definidas ela sempre peidará para a muzenga. O motivo de tamanha felicidade disso será discutido logo.

Integral de linha

A integral de linha é uma integral de uma função vetorial (WTF?), que retorna um produto escalar (ou seja, um número, e não um vetor). Se constitui do somatório das infinitas posições vetoriais da função que foi integrada, o que constitui numa chatice sem limite (com o perdão do trocadilho). Pelo fato de não ser um vetor, não tem nem sentido, nem direção, o que é totalmente excelente.

Esse tipo de integral tem muita desimportância na física^{[carece de fontes]}, onde nerds malucos ficam fazendo continhas e gráficos apenas para usar essa integral. Geralmente ela é utilizada para calcular o trabalho que você deveria ter realizado (seu vagabundo!!), ou a distância percorrida em uma trajetória conhecida, dentre outros enchimentos de linguiça.

Teorema fundamental do Cálculo e áreas entre curvas

A área entre as duas funções pode ser calculada (ou não) por meio de uma diferença de integrais.

O Teorema Fundamental do Cálculo, foi proposto por Newton e Leibiniz, em meados de 1700 e pau com pedra, quando realizaram o desenvolvimento do Cálculo. Esse teorema diz que, uando se calcula uma integral definida, as constantes desaparecem, pois isso é resultado da operação de subtração entre elas. Desta forma, o teorema diz que, quando se calcula as integrais definidas, as constantes vão à puta que pariu.

Esse teorema tem importância capital (ou não), pois, se precisássemos saber o valor das constantes, as Integrais não serviriam para porra nenhuma. Com isso, o teorema salvou todo o trabalho daqueles dois vagabundos e até nos ajudou, já que ter de ficar calculando o valor da constante C é uma merda sem tamanho.

Esse teorema é fundamental para calcular áreas situadas entre duas curvas. Por meio das integrais das referidas curvas e da subtração da integral da curva mais baixa da integral da curva mais alta, sendo que, algumas vezes é preciso despedaçãr em duas, três, cem, 666 ou oito mil integrais, todas somadas umas as outras, de forma altamente suspeita. E depois, para resolver a suruba numérica e de sinais, vai ser preciso uma concentração de monge tibetano e um supercomputador no lugar de uma calculadora. Se você tiver muita sorte, vai conseguir chegar à área correta.

Aplicações

Isaac Newton, um dos ilustres cientistas que criaram o Cálculo.

Posta a importância capital^{[carece de fontes]} do Cálculo em vários setores das ciências exatas e tencológicas, as integrais foram a forma mais simples de se calcular áreas redondas, irregulares, inexistentes e satânicas. Na Física, que é irmã-gêmea-siamesa da matemática, então, nem se fala. Se usa integrais para calcular desde trabalho até campos relativísticos de Einstein-Schrödinger-...Ronaldo!, dentre outras maluquices que só físicos e nerds avançados entendem.

Na matemática, a integral, a derivada e o cálculo são utilizados nas áreas inúteis de anal análise real e complexa^{[carece de fontes]}, que nada mais são do que provar que 1 1 é 2 ou porque o número 2 é par, dentre outras funções totalmente imprestáveis e que são usados pelos matemáticos apenas como fonte de prazer (ou sadomasoquismo) profisional.