Derivada

Este artigo é relacionado à matemática. [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)(x-a)^i}{i!} }[/math]

Se tirar a área lá por derivada vai ser a mesma quantidade.
Jair Bolsonaro, o "jênio" da matemática sobre achatar a curva de COVID-19
Eu tô te falando, o leite é a derivada da vaca...
Engenheiro bêbado sobre derivada
O metal derivou do rock.
Metaleiro amigo do engenheiro bebado acima sobre derivada
Integra pra Deus, que Dele tudo deriva!
Aluno de Engenharia sobre as provas de Cálculo I
O queijo é a derivada do leite integral.
Engenheiro gordo sobre derivada
Eu sei derivar com muita facilidade, já vocês... MWAHAHAHAHAHA!
Professora de Cálculo sobre derivada
EU FICO DESGRAÇADO DA MINHA CABEÇA!!
Alborghetti sobre ter de derivar
Alguém se lembra da "declividade da reta"? (Óbvio que não.) Bem, garotinhos juvenis, isso é a derivada.
Professor Gilmar sobre derivada

Para sua infelicidade, esta NÃO é uma derivada.

A Derivada de uma função é, matemática/geometricamente falando, a taxa de variação da função em relação ao x. Simples, não? Não. A grosso modo, a derivada vai ser a dedo-duro que vai nos dizer como a função principal vai se comportar quando se muda o valor do x. O processo de inventar determinar derivadas é chamado de fazer merda diferenciação ou derivação. As notações matemáticas para a derivada podem ser:

• [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}\, }[/math], que se lê: a derivada de y em relação a x;
  
• [math]\displaystyle{ Df(x)\, }[/math], que se lê: a derivada de f(x);
  
• [math]\displaystyle{ f'(x)\, }[/math], que se lê: "f" linha de x;
  

Nota: Apenas os nerds matemáticos famosos e importantes usam a primeira notação. Pra você dá e sobra a última notação.

Derivada e taxas de variação

Exemplo de taxas relacionadas e derivadas.

Por muito tempo, muito tempo mesmo, os matemáticos tentavam entender como as funções se comportavam quando se mudava o [math]\displaystyle{ x }[/math], mas sempre sem sucesso. Com o nascimento de grandes nerds cientistas e matemáticos, como Isaac Newton e Leibeniz, esses problemas estavam para se acabar. Estes foram os desocupados que descobriram a relação entre as derivadas e as taxas de variação das funções.

Essa relação sexual íntima foi descoberta na época em que problemas relacionando taxas de variação de velocidades de planetas (ramo da astrologia astronomia) apareceram e infernizavam a vida de astrônomos e matemáticos. Na verdade, os ábacos nunca foram de muita ajuda. Análises longas, grossas complexas e extenuantes foram necessárias por parte dos cientistas supracitados para conseguirem perceber que a derivada de uma função é, na verdade, a função que modula a variação da função inicial. E até hoje ninguém sabe como aqueles dois nerds do cão conseguiram ter tempo e vontade pra desenvolver isso.

O desenvolvimento do cálculo diferencial, que calcula derivadas, foi um marco importantíssimo na matemática, já que reduziu os casos de suicídio desses profissionais em 66%, além de ser um dos passos iniciais que levou a Engenharia a se tornar uma ciência, não que isso seja um fato pra se comemorar.

Derivadas e retas tangentes

O processo para fazer uma reta secante virar tangente: basta apenas fazer o [math]\displaystyle{ \Delta{x} }[/math] virar zero.

Newton e Leibiniz conseguiram desenvolver seu raciocínio por meio do uso de retas secantes e tangentes. Segundo as definições da Geometria Analítica:

• Uma reta secante, do latim secare - cortar, talhar, rasgar, romper, seccionar, explodir, também conhecida por reta Zeca Pimenteira, é uma reta que corta uma curva em pelo menos dois pontos distintos. Em Cálculo, a diferença entre esses dois pontos, quando calculada pelo eixo dos X, é conhecido por [math]\displaystyle{ \Delta{x}\, }[/math]. Da mesma forma, a diferença no eixo dos Y dá o [math]\displaystyle{ \Delta{y}\, }[/math].

• Uma reta tangente, do italiano tangenciare - fugir, escapar, dar no pé, cair fora, sumir, ser tragado pela terra, desaparecer, além de ser a origem do termo "sair pela tangente", é uma reta que toca uma curva em determinado ponto. A reta pode tocar em outros pontos da curva, mas não vá complicar as coisas agora. A inclinação desta reta é a derivada da função.

E o que isso interessa?

Bem, pequeno gafanhoto, enquanto você estudava fórmulas inúteis na escola, aprendeu uma fórmula que calcula a declividade da reta. Mas como você devia estar muito ocupado atirando bolinhas de papel no professor, olhando pra bunda das suas colegas gostosas ou dormindo, vamos colocar a fórmula, para ajudar a refrescar a sua mente:

[math]\displaystyle{ m = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} }[/math]

Uma reta tangente à função. No ponto em que ela esfrega na curva, ela é a derivada da referida função (ou não).

Sabendo que f(x) é o mesmo que y e que o x é a letra que você dá o valor que lhe vier na telha, podemos pensar no que fazer (ou não). Analisando, podemos dizer que a fórmula para a derivada geral pode ser esse formulazinha mesmo, mas com umas modificações (para não dar muito na cara):

[math]\displaystyle{ m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a h)-f(a)}h }[/math]

Para a reta virar tangente, é preciso que o [math]\displaystyle{ \Delta{x} }[/math] vire zero, no entanto isso não é nada bom, já que o [math]\displaystyle{ \Delta{x} }[/math] está embaixo, o que configura uma divisão por zero. Então como eu vou fazer essa merda? Muito simples: use a notação de limite. Essa notação te dará tempo até você achar um jeito de dar um fim naquele [math]\displaystyle{ \Delta{x}\, }[/math] embaixo. Usando a notação de limites, a fórmula fica:

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a h)-f(a)}h }[/math]

Agora que usamos a notação de limite e evitamos qualquer tentativa de dividir por zero, que teria efeitos desastrosos a todo o universo, podemos tentar continuar. Para calcular a fórmula da derivada, é apenas necessário utilizar a fórmula escrita logo acima e substituindo em f(x) e em f(x h) pela função inteira e no final fazer uma gambiarra para cortar o [math]\displaystyle{ \Delta{x} }[/math] da parte de baixo da continha.

Regras de diferenciação

MWAHAHAHAHAHA!
Professora de Cálculo sobre regras de diferenciação

Embora a fórmula acima seja aplicável a qualquer função, apenas ou um nerd fodástico (paradoxo?) ou uma grande anta iria usar esta fórmula e substituir tudo para conseguir chegar à derivada. Com o passar dos anos, os loucos cientistas que dedicavam o seu tempo ao Cálculo perceberam que existem algumas regras simples de derivação. E, é óbvio, cabe a você se virar para decorá-las. As regras são:

Alborghetti, desesperado durante a prova de Cálculo, ao ver que teria de usar a regra da cadeia.

• Regra da Constante: a derivada de uma constante não vale nada, ou seja, zero;
• Regra do Múltiplo Constante: o múltiplo fica fora da suruba numérica e multiplica toda a derivada;
• Regra da ImPotência: [math]\displaystyle{ f(x) = x^{n} }[/math], logo [math]\displaystyle{ f'(x) = n.x^{n-1} }[/math] (sim, toda essa merda aí);
• Derivada da função exponencial natural: apesar no nome pomposo, a derivada da exponencial natural é ela mesma;
• Derivada do logarítimo natural (vulgo lnx): [math]\displaystyle{ f(x) = ln(x) }[/math], logo [math]\displaystyle{ f'(x) = x^{-1} }[/math] (vulgo 1/x);
• Regra da Soma: a derivada total é a soma das derivadas (Capitão Óbvio);
• Regra da Diferença: a derivada total é a diferença das derivadas (O RLY?);
• Regra do Produto: ao contrário do que você iria imaginar, a derivada de um produto NÃO é o produto das derivadas. Newton se fudeu lindamente quando percebeu isso e apenas algum tempo depois descobriu que a regra do produto diz que a derivada de um produto é a primeira função vezes a derivada da segunda somada com a segunda vezes a derivada da primeira. Simples, não? Ok, para sua satisfação, vamos desenhar:

[math]\displaystyle{ D[f(x).g(x)] = f(x).g'(x) g(x).f'(x)\, }[/math]

• Regra do Quociente: de forma análoga à regra do produto, a derivada de um quociente NÃO é o quociente das derivadas. No entanto, como já estava de sobreaviso, Newton já imaginava isso, e teve de inventar outra fórmula, que é tão complicada de falar que já vamos desenhar de cara:

[math]\displaystyle{ D[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f(x).g'(x) - g(x).f'(x)}{[g(x)]^{2}}\, }[/math]

• Regra da Cadeia: embora tenha esse nome, não está em nada relacionada ao sistema prisional. É assim chamada porque engloba funções que estejam umas dentro das outras. Na hora de derivar, você deriva a função de fora e deixa igual a de dentro e depois multiplica a porra toda pela derivada da função de dentro. Mas, se você prefere fórmulas:

[math]\displaystyle{ D[f(g(x))] = f'(g(x)).g'(x)\, }[/math]

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Nota: não nos responsabilizamos por lesões cerebrais causadas pela visualização destas fórmulas.

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Diferenciação Implícita

Um dos problemas das regras de derivação acima é que elas apenas se aplicam em funções onde o y está sozinho, completamente afastado da suruba numérica onde o x está presente. E, como nada é tão ruim que não possa piorar, existirá uma infinidade de continhas, expressões e invocações satânicas matemáticas que te impedem de deixar o y sozinho e isolado. Então, como proceder?

Usando a regra da cadeia (e você pensava que iria se esquivar dela, MWAHAHAHAHAHA!), pode-se derivar uma variável em função de outra sem nenhum problema (ou não). Este processo e chamado, criativamente, de diferenciação implícita. Vamos usar a seguinte situação como exemplo:

Figura explicativa do problema.

• James Bond, atrávés de um telescópio, está observando um foguete soviético carregado de bombas atômicas. O foguete sobe verticalmente para cima a partir de uma base de lançamento localizada a 10 km de James. No momento em que o espião observa o foguete, o telescópio acusa que o ângulo entre o telescópio e o chão é de π/3 rad, a variação do ângulo é de 1 rad/min e a taxa de variação da variação do ângulo é 0,25 rad/min². Com essas informações, responda:

a) Qual a equação que relaciona a posição do foguete com o ângulo;

b)Qual a velocidade do foguete (em m/s);

c)Qual a aceleração do foguete (em m/s²);

d)James Bond será capaz ou não de parar o foguete antes que chegue ao destino;

Vamos por partes!
Jack, o estripador sobre resolver este exercício

Isso é, infelizmente, um problema de trigonometria (estudo do trigo). Teremos de relacionar a alura do foguete com o ângulo e, para isso, você terá de usar uma função trigonométrica para chegar à equação. Tendo o valor do cateto oposto (que é y) e do cateto adjacente (que é 10) e da hipotenusa (que não vale nada nos interessa), usamos a saída pela tangente, que é cateto oposto sobre o adjacente: tanx = y/10. Depois de ajeitar toda a continha (ou seja, isolar o y), ela vai ficar dessa forma: [math]\displaystyle{ y = 10.tanx }[/math] Então, a resposta do item a é:

[math]\displaystyle{ y = 10.tanx\, }[/math]

Para calcular a velocidade do foguete, é só derivar essa expressão em relação ao tempo (ou seja, t). Mas como vamos derivar se não tem t? Bem, é por isso que o exercício está nessa seção, para você ter de fazer diferenciação implícita: y' = 10.sec²x.x' . Vamos resolver essa continha do caralho, que nos dará a resposta para o item b:

O foguete, no momento em que Bond o observava.

y' = 10.sec²(π/3).1 = 40 km/min = 666,666 m/s

Logo, a velocidade do foguete é de 666,666 m/s. (Nota: a velocidade do foguete parece ser correta, já que sabe-se que os soviéticos são coisa do demo. E, sim, a velocidade do foguete é, literalmente, demoníaca.)

Para calcular a aceleração do foguete, basta derivar a fórmula da velocidade. E você vai ter de usar a regra do produto, ou seja, salci fufu. Desta forma:

[math]\displaystyle{ y'' = 10.[x'.secx.secx.tgx sec^{2}x.x'']\, }[/math] (conta da porra)

y" = 10.[1.2.2.1,73 4.0,25] = 10.[7,92] = 79,2 km/min²

Fazendo as conversões malditas, chegamos à resposta do item c: 22 m/s²

A resposta do item d é óbvia: sendo James Bond praticamente igual a um Chuck Norris inglês, não importam as circunstâncias, ele sempre conseguirá seu objetivo. Portanto, Bond irá conseguir parar o foguete e ainda sobrará tempo para matar o general russo que ordenou o lançamento e comer a gostosa do filme.

Nota: através deste problema percebemos a grande importância que o Cálculo e, em especial, a derivada tem para a nossa vida.

Continuidade da função e locais onde não se pode derivar

Usos da diferenciação para resolver problemas (ou criar mais problemas).

Agora que você aprendeu as fórmulas, pensa que tudo é ótimo e pode-se usar o montinho de letras, números e sinais para melhorar as coisas pro teu lado. Mas, como tudo em matemática, sempre tem algo para te foder lindamente. E, em derivadas isso não seria diferente.

Segundo os estudos e cálculos (pleonasmo?) realizados pelos nerds matemáticos, em partes de uma função onde o gráfico possui uma quebra (eles chamam de descontinudade) ou um bico, não é possível derivar uma função simplesmente porque, quando você for derivar, a derivada vai dar uma expressão absurda, mas algo tão absurdo que até você vai perceber que isso é Esparta loucura.

Tomemos Noku por exemplo, a função: y = |x|. Segundo as regras de derivação que você deveria ter lido anteriormente, sabe que a derivada desta função é igual a 1. Mas como pode ser? Simples:

[math]\displaystyle{ f'(x) = 1.x^{0} = 1.1 = 1\, }[/math]

Logo, está provado por a mais b que a mais b não prova nada que a derivada de y = |x| é 1. Agora, tente achar a derivada quando x vale zero. A conta vai ficar:

[math]\displaystyle{ f'(0) = 0^{0} = ?\, }[/math]

Segundo a conta, [math]\displaystyle{ 0^{0} }[/math] é uma operação cuja resposta nón ecziste. Logo, esta função não pode ser derivada em [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] nem fodendo. É importante que você saiba que, onde a linha do gráfico está de pé, a derivada nón eczistirá e nem haverá derivada quando o gráfico tem um bico ou ponta.

Aplicações das derivadas em gráficos

A principal aplicação das derivadas de funções é em, exatamente, determinar a forma como elas vão se comportar sem ter de desenhar toda a função principal. Embora isso sempre dê resultados nas coxas, ninguém se importa com isso. Para uma função, o que importa são as derivada primeira e a derivada segunda. Os aspectos que devem ser inventados analisados são:

Gráfico que é uma merda para ser criado a partir das derivadas.

• Pontos críticos: são os locais onde a derivada primeira não vale porra nenhuma (ou seja, zero). Esses pontos são importantes pois podem ser extremos relativos da função inicial. Agora, se são ou não extremos relativos, bem, isso são outros 500.
• Crescimento e Decrescimento: a derivada primeira acusa quando a função principal sobre ou desce. Quando a derivada primeira estiver negativa, a função cai, quando estiver positiva, a função sobe;
• Concavidade: a derivada segunda nos diz como vai ser a concavidade. Se a derivada segunda for positiva, ela é feliz (para cima), se não, ela será triste (para baixo);
• Pontos de inflexão: lugares onde a concavidade troca de time. Esses pontos ocorrem onde a derivada segunda é zero. Se a derivada trocar de sinal depois de passar do zero, esse ponto será de inflexão. Se não trocar, não será porra nenhuma.