1=−1

1=−1이다.

증명

허수 단위를 이용한 증명

일단 이 증명 방법을 이해하려면 적어도 허수와 허수 단위가 뭔지 알아야 한다. 그러므로 그 둘을 모르는 초딩들은 이해할 수 없을 것이다.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{i} = -i }[/math]

양변을 제곱하면

[math]\displaystyle{ \frac{1^2}{i^2} = (-i)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{-1} = -1 }[/math]

양변의 제곱근을 구하면

[math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{i} = i }[/math]

양변에 i를 곱하면

[math]\displaystyle{ 1 = -1 }[/math]

이 되며, 동시에 [math]\displaystyle{ -i = i = \frac{1}{i} }[/math]도 얻을 수 있다.

삼각함수의 미분을 이용한 증명

이 증명을 이해하려면 삼각함수의 미분을 알아야 한다.

[math]\displaystyle{ \sin x = \cos x }[/math]인 x가 있다고 하자.

이때 양변을 미분하면

[math]\displaystyle{ \sin ' x = \cos ' x }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos x = - \sin x }[/math]

그리고 맨 위의 식에 따라 [math]\displaystyle{ x=\frac {\pi} {4} }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \cos \frac {\pi} {4} = - \sin \frac {\pi} {4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1} {\sqrt {2}} = - \frac{1} {\sqrt {2}} }[/math]

양변을 [math]\displaystyle{ \frac{1} {\sqrt {2}} }[/math] 로 나누면

[math]\displaystyle{ -1 = 1 }[/math]

1=1과 0으로 나누기를 이용한 증명

1=1

1=(-1)×(-1) …①

①의 양변에 -1을 곱하면

-1=(-1)×(1) …②

①과 ②를 변끼리 더하면

1-1=(-1)×(-1 1)

양변을 1-1(또는 -1 1)로 나누면

1=-1

여기서 1=0을 증명할 수 있다.

오일러 등식

[math]\displaystyle{ e }[/math]^[math]\displaystyle{ i{\pi} 1=0 }[/math]

이항하면

[math]\displaystyle{ e }[/math]^[math]\displaystyle{ i{\pi}=-1 }[/math]

양변에 제곱을 하면

[math]\displaystyle{ e }[/math]^[math]\displaystyle{ 2i{\pi}=1 }[/math]

지수법칙에 의해

[math]\displaystyle{ 2i{\pi}=0 }[/math]

양변에 [math]\displaystyle{ i{\pi} }[/math]를 빼면

[math]\displaystyle{ i{\pi}=-i{\pi} }[/math]

양변을 [math]\displaystyle{ i{\pi} }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ 1 = -1 }[/math]

사실 이런 거 따위는 중요하지 않다.

응용

-1=1임을 이용해서 음수×음수=양수임을 보일 수 있다.

증명 : 음수와 음수의 곱은 양수이다.

[math]\displaystyle{ pq=r }[/math]인 양의 실수 [math]\displaystyle{ p,q,r }[/math]이 있다 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ (-p)(-q)=(-1)^2r }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (-p)(-q)=r }[/math]와 [math]\displaystyle{ (-1)^2=1 }[/math]은 동치이다. 이제 [math]\displaystyle{ (-1)^2=1 }[/math]임을 증명하자. [math]\displaystyle{ -1=1 }[/math]이고, 이 식의 양변을 제곱하면 [math]\displaystyle{ (-1)^2=1^2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1^2=1 }[/math]임은 명백하므로 [math]\displaystyle{ (-1)^2=1 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \therefore (-p)(-q)=r }[/math]

 빌어먹을 수학