Linearização

Em matemática e suas aplicações, linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto. No estudo de sistemas dinâmicos, linearização é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos.^[1] Este método é usado em campos tais como engenharia, física, economia e ecologia.

Linearização de uma função

Linearizações de funções são funções lineares geralmente usadas com propósito de realizar cálculos específicos. Linearizar é um método eficaz de aproximar a imagem de uma função $y=f(x)$ em qualquer $x=a$ baseando-se na inclinação da reta tangente da função em $x=b$ , desde que $f(x)$ seja contínua em $[a,b]$ (ou $[b,a]$ ) e $a$ esteja suficientemente próximo de $b$ .

Por exemplo: você provavelmente sabe que ${\sqrt {4}}=2$ . Mas sem uma calculadora, como seria possível calcular ${\sqrt {4,001}}$ ?

Seja $L_{a}(x)$ a função correspondente à linearização de $f(x)$ em $a$ , a propriedade da Localidade Linear nos diz que qualquer função diferenciável num ponto é linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nível de zoom, seu gráfico assemelhar-se-á a uma reta. Essa reta é justamente a reta tangente da função naquele ponto específico.

Sendo assim, a linearização (aproximação de Taylor de primeira ordem) da função $f(x)$ no ponto $x=a$ será: $y-f(a)=m(x-a)$ ou $y=f(a) m(x-a)$ , em que $m$ é a inclinação da reta, que corresponde à derivada da função $f(x)$ em $a$ . A equação final para a fórmula do cálculo da linearização é: