Vinkelens tredeling

Tredeling av vinkelen AOB på 90° ved geometrisk konstruksjon.

Vinkelens tredeling er et klassisk problem i geometri som består i å dele en gitt vinkel i tre like store deler kun ved bruk av passer og linjal. Sammen med kubens fordobling og sirkelens kvadratur ble dette problemet tatt opp av greske matematikere i antikkens Hellas for over 2000 år siden. I de følgende århundre ble ingen tilfredsstillende løsning funnet. Først på begynnelsen av 1800-tallet med utviklingen av Galois-teori for løsning av polynomligninger ble det klart at dette problemet i alminnelighet er uløselig.

Men tredeling av en vinkel skiller seg fra kubens fordobling og sirkelens kvadratur ved at for visse vinkler som for eksempel 90° og 180°, kan problemet løses geometrisk ved bruk av passer og linjal alene. Dette følger også fra matematikken som ligger bak slike geometriske konstruksjoner. I dag er derfor dette klassiske problemet fullstendig forstått og av mindre interesse.

Historie

Halvering av vinkel ved geometrisk konstruksjon.

Med bruk av kun passer og linjal var det i gamle Hellas kjent hvordan man kunne halvere en vilkårlig vinkel. Dette kan leses i Euklids store verk Elementer om geometri. Ligger vinkelens toppunkt i O, slår man en vilkårlig sirkel om dette punktet. Linjestykkene OA og OB i figuren til venstre er da like lange. Deretter lager man to nye sirkler med samme radius og med sentrum henholdsvis i A og i B. Disse to sirklene skjærer hverandre i to punkt. Kalles det ene av disse for C, vil derfor trekanten ABC være likesidet. En linje gjennom punktene O og C vil nå halvere vinkelen AOB. Denne konstruksjonen kan benyttes for alle vinkler som skal halveres.

I Elementer er det ingen omtale av en mulig, geometrisk tredeling av en vinkel. Det skyldes nok at Euklid ikke kjente til noen konstruksjon som var mulig ved kun å benytte passer og linjal. Men noen spesielle vinkler kunne la seg tredele på denne måten. For eksempel hvis vinkelen er 90°, så er det lett å konstruere tredjeparten på 30° som vist i figuren over ved bruk av tre sirkler. Ved så å halvere denne vinkelen igjen, har man også automatisk tredelt vinkelen på 45°. Men dette så altså ut til å være spesielle unntakstilfeller.

Løsning med kvadratrise

Tredeling av vinkelen BAE ved bruk av Hippias' trisektrise eller kvadratrise tegnet i rødt.

Ved å tillate andre hjelpemidler enn kun passer og linjal, viste greske matematikere før Euklids tid at tredelingen var mulig. Ifølge Proklos er det Hippias fra Elis som skal ha æren for dette ved å ha innført en ny kurve spesielt til dette bruk. Den ble kalt for Hippias trisektrise og er tegnet med rødt i figuren til høyre. Den fremkommer ved å betrakte et punkt som beveger seg jevnt langs en sirkelkvadrant BD samtidig som en rett linje beveger seg med konstant hastighet parallell med AB. Bevegelsen til denne horisontale linjen starter i posisjon AB samtidig med at det bevegelige punktet starter i B. Hastighetene til disse to bevegelsene er slik at linjen kommer frem til posisjon CD samtidig som punktet kommer frem til D. Etter en viss tid er punktet kommet til E på sirkelbuen, mens linjen har beveget seg slik at den går gjennom F. Dette tidpunktet tilsvarer skjæringspunktet G på kurven. Slik kan hvert punkt på kurven finnes. Men dette kan ikke gjøres med passer og linjal alene da man også behøver å fremstille den jevne bevegelsen, for eksempel ved en mekanisk innretning.

Skal man nå tredele vinkelen BAE, finner man først punktet F. Linjestykket AF deles så i tre like stykker, for eksempel ved hjelp av en hjelpelinje AO gjennom A. Gjennom delingspunktene P og Q trekkes horisontale linjer som skjærer den trisektrisen i U og T. Fra dens definisjon følger nå at hvert av disse punktene tilsvarer en tredeling av den gitte vinkelen.

Noe tid senere gjorde en annen, gresk matematiker Dinostratos bruk av den samme kurven til å løse problemet med sirkelens kvadratur. Han var bror til Menaikhmos og begge hadde vært elever av Platon. At Hippias' trisektrise denne gangen ble brukt til å løse dette kvadraturproblemet, hadde som konsekvens at den senere er blitt omtalt som Dinostratos' kvadratrise eller ganske enkelt som kvadratrisen. Dette er den tredje kurven med eget navn som kom i bruk etter linjen og sirkelen.

Etter hvert viste det seg at problemet med vinkelens tredeling også lot seg gjennomføre ved bruk av andre kurver. For eksempel, så viste Apollonios at man kunne bruke forskjellige kjeglesnitt. Men disse lot seg heller ikke konstruere ved hjelp av passer og linjal alene.

Arkimedes

Arkimedes' konstruksjon hvor den tredelte vinkelen β  bestemmes ved at linjestykket AB er lik radius a i sirkelen.

Hvis man tillot å bruke en gradert linjal, hadde Hippokrates vist at man kunne tredele en vinkel ved å la linjalen gå gjennom et punkt slik at den bestemmer to andre skjæringspunkt med en bestemt avstand. En lignende, mekanisk løsning ble også foreslått av Arkimedes. Hvis vinkelen har sitt toppunkt i O, slå en sirkel om dette med radius a. Det bestemmer punktene P og M slik at vinkelen POM har størrelsen α. Hvis man nå legger linjalen slik at den går gjennom P, oppstår skjæringspunktet A med forlengelsen av linjen OM og skjæringspunktet B med sirkelen. Linjalen gjennom P roteres så om dette punktet slik at linjestykket AB nøyaktig blir lik med radius a. Da er størrelsen β til vinkelen OAB lik med α/3 og derfor den tredelte av den gitte vinkelen.

Beviset for det følger fra å enkel geometri. Da trekanten ABO er likesidet, vil γ = 2β  når man kaller størrelsen til vinkelen BPO for γ og benytter at trekanten BOP også er likesidet. Men samtidig må α β = 2γ  som betyr at β = α/3. Men denne glidende benyttelsen av en gradert linjal ble ikke ansett å være tillatt i en ideell konstruksjon.

Galois-teori

I 1837 viste den franske matematiker Pierre Wantzel at problemet med vinkelens tredeling ved en ren geometrisk konstruksjon er uløselig. Han bygget da på ny, matematisk innsikt som hadde resultert fra arbeidene til den norske matematiker Niels Henrik Abel som også var blitt generalisert av Evariste Galois. De hadde studert hvilke betingelser som måtte være oppfylt for at man skulle kunne løse polynomligninger ved rotutdragning alene. Dette markerte et stort gjennombrudd innen matematikken og blir omtalt som Galois-teori.

Det geometriske problem med vinkelens tredeling kan oversettes til et algebraisk problem ved å formulere det ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Man kan da ganske enkelt summere innholdet av beviset. Kalles vinkelen som skal deles for α = 3θ, vil

$\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$

som er en av de Moivres formler. Den kan lett utledes ved å benytte cosinus til en sum av to vinkler. Fra 3θ = 2θ θ , følger at cos3θ = cos2θ⋅cosθ - sin2θ⋅sinθ  hvor funksjonene med den dobbelte vinkelen igjen kan bli redusert på tilsvarende måte. Det gir formelen når man samtidig benytter at cos²θ sin²θ = 1.

Den søkte vinkelen vil derfor være en rot av polynomligningen

$4x^{3}-3x-\cos \alpha =0$

hvor x = cosθ. Løsningen av denne tredjegradsligningen vil inneholde kubikkrøtter. Men geometriske konstruksjoner gir kun opphav til tall som er kvadratrøtter av andre tall som også inneholder kvadratrøtter, såkalte konstruerbare tall. Derfor er tredeling av vinkelen i alminnelighet matematisk umulig.

Dette beviset er ikke gyldig for alle vinkler. I noen spesielle tilfeller lar tredjegradsligningen seg løs eksakt kun ved bruk av kvadratrøtter. For eksempel, hvis α = 90°, så er cosα = 0. Ligningen forenkles da til 4x³ - 3x = x(4x² - 3) = 0. Bortsett fra den trivielle løsningen x = 0, har den også den mer interessante løsningen x = √(3)/2 . Det betyr at den tredelte vinkelen er θ = 30° som lett kan konstrueres. På samme måte har problemet en konstruerbar løsning x = 1/2  eller θ = 60° for α = 180°. Ved denne omskrivningen av problemet finnes derfor full overensstemmelse mellom de algebraiske og geometriske løsningene som er konstruerbare.

Se også

• Sirkelens kvadratur
• Kubens fordobling
• Geometrisk konstruksjon
• Konstruerbare tall

Litteratur

• A. Holme, Matematikkens historie, vol. 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
• S. Thorvaldsen, Matematisk kulturhistorie, Eureka Forlag, Høgskolen i Tromsø, Tromsø (2003). ISBN 82-7389-045-7.
• C. B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, Angle Trisection, MathWorld.
• MacTutor, Trisecting an angle, University of St. Andrews, Scotland.