Go at matematika

Ang larong Go ay isa sa pinakapopular na laro sa buong mundo. Dahil sa kaniyang mga eleganteng at simpleng kautusan, ang laro ay matagal na inspirasyon para sa matematikal na pananaliksik. Nagtasa si Shen Kuo, isang Tsinong iskolar ng ika-11 na siglo, sa kaniyang mga Sanaysay ng Lawa ng mga Panaginip (Tsinong pinapayak: 梦溪笔谈; Tsinong tradisyonal: 夢溪筆談) na dami ng mga posibleng posisyon ng tabla ay mga 10¹⁷²^{[kailangan ng sanggunian]}. Sa mas kamakailang mga taon, ang pananaliksik ng laro ni John Horton Conway ay nagdulot ng imbensyon ng mga surreal na bilang at nag-ambag sa kaunlaran ng teorya ng larong kombinatoryal. Ang isang espesipikong paggamit ng TLK sa Go ay mga Go Infinitesimal^[1] (sa Ingles).

Komputasyonal na komplehidad

Sa heneral nilalaro ang Go sa mga tablang n × n, at ay komputasyonal na komplehidad para magtasa ng nagwagi sa ilang posisyon ng Go ay krusyal na nagdedepende sa mga kautusang ko.

Ang Go ay "halos" nasa PSPACE, kasi sa normal na paglalaro, hindi nababawiin ang mga tira, at lang sa pamamagitan ng paghuli may posibilidad ng mga padrong inuulit na kailangan para sa isang mas mahirap na komplehidad.

Kung wala ko

Kung wala ko, ang Go ay PSPACE-mahirap.^[2] Ang pruweba ay sa pamamagitan ng kabawasan ng pormulang totoong dinadamihan ni Boole (Ingles: true quantified Boolean formula, o TQBF), na kinikilala bilang PSPACE-kumpleto, sa heograpiyang nilalahat (Ingles: generalized geography), sa planar na heograpiyang nilalahat, sa planar na heograpiyang nilalahat na may pinakamataas na digring 3, at sa wakas sa mga posisyong Go.

Hindi alam kung ang Go na may superko ay nasa PSPACE. Maski ang totoong mga laro ay hindi kailanman mukhang magtagal ng mas kay $n^{2}$ tira, sa heneral hindi alam kung may polinomial na hangganan sa tagal ng mga larong Go. Kung may, ang Go ay PSPACE-kumpleto, EXPTIME-kumpleto, o kahit EXPSPACE-kumpleto.

Hapones na kautusang ko

Nagsasabi ang Hapones na kautusang ko na bawal lang ang basikong ko, kumbaga, isang tira na nanunumbalik ang tabla sa pinakahuling posisyon. (Ikumpara ang kautusang superko sa ilalim.) Puwede ang mga paulit-ulit at mas matagal na sitwasyon, kaya sa teorya magpakailanmang nauulit ang isang laro. Halimbawa ang tripleng ko, na may tatlong sabay-sabay na ko, ay tinutulutan ang siklo ng 12 mga galaw.

Kung may Hapones na kautusang ko, ang Go ay EXPTIME-kumpleto.^[3]

Kautusang superko

Nagsasabi ang kautusang superko (tinatawag din na posisyonal na kautusang superko) na bawal ang isang ulit ng anumang posisyon ng tabla. (Ikumpara ang Hapones na kautusang ko sa itaas.) Ito ay kautusang ko na madalas na ginagamit sa Tsina at Estados Unidos.

Ang klaseng komplehidad ng Go, sa ilalim ng kautusang superko, ay bukas na problema. Bagama't EXPTIME-kumpleto ang Go kung may Hapones na kautusang ko, kung idinadagdag ang kautusang superko, sinisira ang parehong mga hangganan (itaas at ibaba) ng pruwebang EXPTIME-pagkakumpleto ni Robson^[3].

Alam na ito ay hindi bababa sa PSPACE-mahirap, dahil sa pruweba ni Sipser^[2] ng PSPACE-pagkahirap ng Go ay hindi inaasahan ang kautusang ko o kaniyang kawalan. Alam rin na ang Go ay nasa EXPSPACE.^[4]

Ipinakita ni Robson^[4] na kung ang kautusang superko, kumbaga, "nauulit ang walang dating posisyon", ay idinadagdag sa ilang mga EXPTIME-kumpletong larong dalawang manlalaro, tapos EXPSPACE-kumpleto ang mga bagong laro. Intuitibo na, ito ay kasi isang exponensiyal na dami ng espasyo ay kailangan kahit para magtaas ng mga legal na galaw mula sa isang posisyon, kasi ang kasaysayan na laro, hanggang sa itong posisyon, ay puwedeng eksponensiyal na mataas.

Bilang isang resulta, ang mga baryenteng superko para sa ahedres^[5] at dama^[6] ay EXPSPACE-kumpleto, kasi ang nilalahit na ahedres at dama ay EXPTIME-kumpleto. Gayunman, hindi nalalapat ang itong resulta sa Go.^[4]

Komplehidad ng ilang mga kumpigurasyong Go

PSPACE-kumpleto ang magtasa ng nagwagi ng isang karera para hulihin ang isang hagdan. Pinatutunayan ng simulasyon ng QBF (Quantum Boolean formula, na kilala bilang PSPACE-kumpleto) sa pamamagitan ng mga hagdan na tumatalbog sa tabla bilang mga liwanag na sinag.^[7]

Mga posisyong legal

Kasi puwedeng basyo, itim, o puti ang kada posisyon sa tabla, may 3^n² posibleng posisyon ng tablang parisukat na may habang n', ngunit hindi lahat ng mga posisyon ay legal. Nabuo nina John Tromp at Gunnar Farnebäck ang isang rekursibong pormula para sa mga legal na posisyong $L(m,n)$ ng isang tablang parihaba na may habang m at n.^[8] Noong 2016 inalam ang eksaktong bilang ng $L(19,19)$ .^[9] Nahanap din ang isang asintotikong pormulang $L\approx AB^{m n}C^{mn}$ , kung saan $A\approx 0.8506399258457145$ , $B\approx 0.96553505933837387$ at $C\approx 2.975734192043357249381$ Tinaya na ang mapagmamasdang uniberso ay may mga 10⁸⁰ atomo, mas kaunti kaysa sa dami ng mga posibleng legal na posisyon ng isang tabla na may regular na sukat (m = n = 19). Habang lumalaki ang tabla, nagbabawas ang persentahe ng mga posisyong legal.

Sukat ng tablang n×n	3^n²	Persentaheng legal	$L$ (mga posisyong legal) (Padron:OEIS link)^[10]
1 × 1	3	33.33%	1
2 × 2	81	70.37%	57
3 × 3	19,683	64.40%	12,675
4 × 4	43,046,721	56.49%	24,318,165
5 × 5	847,288,609,443	48.90%	414,295,148,741
9 × 9	4.43426488243 × 10³⁸	23.44%	1.03919148791 × 10³⁸
13 × 13	4.30023359390 × 10⁸⁰	8.66%	3.72497923077 × 10⁷⁹
19 × 19	1.74089650659 × 10¹⁷²	1.20%	2.08168199382 × 10¹⁷⁰

Komplehidad ng punong laro

Itinala ni Victor Allis, isang siyentipikong pangkompyuter, na ang mga tipikal na laro sa pagitan ng mga dalubhasa ay nagtatagal ng mga 150 tira, na may mga 250 pasiya kada tira, na inimumungkahi ang isang komplehidad ng punong laro ng 10³⁶⁰.^[11] Para sa dami ng larong teoretika na posible, kabilang sa mga larong imposible sa praktika, ibinibigay nina Tromp at Farnebäck ang mga ibaba at itaas na hangganan ng 10^10⁴⁸ at 10^10¹⁷¹, ayon sa pagkakabanggit.^[8] Pinabuti ang ibabang hangganan sa isang googolplex nina Walraet at Tromp.^[12] Ang bilang na pinakakaraniwang tinutukoy para sa dami ng mga posibleng laro, 10⁷⁰⁰^[13], ay batay sa isang simpleng permutasyon ng 361 tira o 361! = 10⁷⁶⁸. Ang ibang karaniwang deribasyon ay ipalagay ang mga N interseksiyon at L pinakamatagal na laro para sa mga total na larong NPadron:I sup Halimbawa, ang 400 tira, tulad ng nakikita sa ilang mga propesyonal na laro, ay isa sa 361⁴⁰⁰ o 1 × 10¹⁰²³ posibleng laro.

Ang total na dami ng mga posibleng laro ay isang punsiyon ng sukat ng tabla, at saka ng dami ng mga tirang nilaro. Ang karamihan ng mga laro ay nagtatagal ng wala pang 400 o kahit 200 tira, mararaming mas ay posible.

Sukat ng laro	Sukat ng tablang N (mga interseksiyon)	N!	Tipikal na tagal ng isang larong L	NPadron:I sup	Pinakamatagal na laro (# ng tira)	Ibaba na hangganan ng mga laro	Itaas na hangganan ng mga laro
2 × 2	4	24	3	64		386,356,909,593^[14]	386,356,909,593
3 × 3	9	3.6×10⁵	5	5.9×10⁴
4 × 4	16	2.1×10¹³	9	6.9×10¹⁰
5 × 5	25	1.6×10²⁵	15	9.3×10²⁰
9 × 9	81	5.8×10¹²⁰	45	7.6×10⁸⁵
13 × 13	169	4.3×10³⁰⁴	90	3.2×10²⁰⁰
19 × 19	361	1.0×10⁷⁶⁸	200	3×10⁵¹¹	10⁴⁸	10^10⁴⁸	10^10¹⁷¹
21 × 21	441	2.5×10⁹⁷⁶	250	1.3×10⁶⁶¹

Tingnan din

Mga sanggunian

↑ "Go Infinitesimals at Sensei's Library". senseis.xmp.net (sa wikang Ingles). Nakuha noong 2022-02-10.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^2.0 ^2.1 Lichtenstein, David; Sipser, Michael (Abril 1980). "Go Is Polynomial-Space Hard" (PDF). Journal of the ACM (sa wikang Ingles). 27 (2): 393–401. doi:10.1145/322186.322201. S2CID 29498352.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^3.0 ^3.1 Robson, John (1983). "The complexity of Go". Proceedings of the IFIP 9th World Computer Congress on Information Processing (sa wikang Ingles): 413–417.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Robson, J (1984). "Combinatorial games with exponential space complete decision problems". Mathematical Foundations of Computer Science 1984. pp. 498–506. doi:10.1007/BFb0030333. ISBN 978-3-540-13372-8. {{cite book}}: |journal= ignored (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Aviezri Fraenkel and D. Lichtenstein (1981). "Computing a perfect strategy for n×n chess requires time exponential in n". J. Comb. Theory A (sa wikang Ingles). 31 (2): 199–214. doi:10.1016/0097-3165(81)90016-9.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ J. M. Robson (1984). "N by N checkers is Exptime complete". SIAM Journal on Computing (sa wikang Ingles). 13 (2): 252–267. doi:10.1137/0213018.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Crâşmaru, Marcel; Tromp, John (2000). Ladders are PSPACE-Complete. pp. 241–249. CiteSeerX 10.1.1.24.4665. doi:10.1007/3-540-45579-5_16. ISBN 978-3-540-43080-3. {{cite book}}: |journal= ignored (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^8.0 ^8.1 Tromp, J; Farnebäck, G (2007), Combinatorics of Go (sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-540-75538-8_8, ISBN 978-3-540-75537-1{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ https://tromp.github.io/go/legal.html 208 168 199 381 979 984 699 478 633 344 862 770 286 522 453 884 530 548 425 639 456 820 927 419 612 738 015 378 525 648 451 698 519 643 907 259 916 015 628 128 546 089 888 314 427 129 715 319 317 557 736 620 397 247 064 840 935
↑ "Combinatorics of Go" (PDF). github.io (sa wikang Ingles). Nakuha noong 17 Hunyo 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Allis 1994
↑ Walraet, M; Tromp, J (2016), A Googolplex of Go Games (sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-319-50935-8_18, ISBN 978-3-319-50934-1{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Home - American Go Association". www.usgo.org (sa wikang Ingles). Nakuha noong 17 Hunyo 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Tromp 1999

[1] "Go Infinitesimals at Sensei's Library". senseis.xmp.net (sa wikang Ingles). Nakuha noong 2022-02-10.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[sipser1980-2] 2.0 ^2.1 Lichtenstein, David; Sipser, Michael (Abril 1980). "Go Is Polynomial-Space Hard" (PDF). Journal of the ACM (sa wikang Ingles). 27 (2): 393–401. doi:10.1145/322186.322201. S2CID 29498352.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[robson1983-3] 3.0 ^3.1 Robson, John (1983). "The complexity of Go". Proceedings of the IFIP 9th World Computer Congress on Information Processing (sa wikang Ingles): 413–417.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[robson1984-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Robson, J (1984). "Combinatorial games with exponential space complete decision problems". Mathematical Foundations of Computer Science 1984. pp. 498–506. doi:10.1007/BFb0030333. ISBN 978-3-540-13372-8. {{cite book}}: |journal= ignored (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)

[Fraenkel1981-5] Aviezri Fraenkel and D. Lichtenstein (1981). "Computing a perfect strategy for n×n chess requires time exponential in n". J. Comb. Theory A (sa wikang Ingles). 31 (2): 199–214. doi:10.1016/0097-3165(81)90016-9.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[robson1984checkers-6] J. M. Robson (1984). "N by N checkers is Exptime complete". SIAM Journal on Computing (sa wikang Ingles). 13 (2): 252–267. doi:10.1137/0213018.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[7] Crâşmaru, Marcel; Tromp, John (2000). Ladders are PSPACE-Complete. pp. 241–249. CiteSeerX 10.1.1.24.4665. doi:10.1007/3-540-45579-5_16. ISBN 978-3-540-43080-3. {{cite book}}: |journal= ignored (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)

[Tromp_and_Farnebäck_2007-8] 8.0 ^8.1 Tromp, J; Farnebäck, G (2007), Combinatorics of Go (sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-540-75538-8_8, ISBN 978-3-540-75537-1{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[9] ttps://tromp.github.io/go/legal.html 208 168 199 381 979 984 699 478 633 344 862 770 286 522 453 884 530 548 425 639 456 820 927 419 612 738 015 378 525 648 451 698 519 643 907 259 916 015 628 128 546 089 888 314 427 129 715 319 317 557 736 620 397 247 064 840 935

[10] "Combinatorics of Go" (PDF). github.io (sa wikang Ingles). Nakuha noong 17 Hunyo 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[11] Allis 1994

[12] Walraet, M; Tromp, J (2016), A Googolplex of Go Games (sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-319-50935-8_18, ISBN 978-3-319-50934-1{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[top_ten-13] "Home - American Go Association". www.usgo.org (sa wikang Ingles). Nakuha noong 17 Hunyo 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[14] Tromp 1999

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]