Dowód (matematyka)

Dowód – wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie niespełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d. (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść), c.b.d.o. (co było do okazania) lub podobnym.

Metody dowodu

O ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach:

Dowód wprost polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci $2k,$ gdzie $k$ jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi $2k 2l=2(k l),$ co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
Dowód nie wprost (dowód apagogiczny) polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być dowód niewymierności pierwiastka z dwóch: załóżmy, że ${\sqrt {2}}$ jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
Dowód kombinatoryczny to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla $n,k\geqslant 1$ zachodzi ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}} {\tbinom {n-1}{k-1}}.$ Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać $k$ spośród $n$ osób. Możemy to zrobić na ${\tbinom {n}{k}}$ sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam ${\tbinom {n-1}{k-1}}$ sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam ${\tbinom {n-1}{k}}$ sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}} {\tbinom {n-1}{k-1}}.$

Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Dowody geometryczne mogą być wykorzystywane również poza geometrią (patrz geometryczny dowód niewymierności pierwiastka z 2)
Dowód indukcyjny to dowód wykorzystujący zasadę indukcji matematycznej.
Metoda przekątniowa to rodzaj rozumowania używany w dowodach, że nie istnieje pewien obiekt. Przykłady twierdzeń, które można udowodnić w ten sposób: zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny, twierdzenie Cantora, nierozwiązywalność problemu stopu.
Użycie wspomagania komputerowego, np. dowód twierdzenia o czterech barwach. Takie dowody wzbudzają kontrowersje, gdyż niemożliwe jest zweryfikowanie ich przez człowieka. Innym przykładem użycia komputerów jest rozproszony projekt Seventeen or Bust sprawdzający potencjalnych kandydatów na liczby Sierpińskiego.
Dowód niezależności to dowód, że pewnego zdania nie można udowodnić. Przykładem jest dowód niezależności hipotezy continuum, wykorzystujący forsing.
Dowód konstruktywny to dowód polegający na znalezieniu pewnego obiektu spełniającego wymagane założenia. Przykład: aby udowodnić, że wielomian $x^{3}-8$ ma pierwiastek rzeczywisty, wystarczy zauważyć, że jest nim liczba 2. Aby udowodnić, że każdy graf spójny zawierający co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego ma drogę Eulera, można podać algorytm znajdujący ją.
Dowód niekonstruktywny to dowód polegający na wykazaniu, że istnieje obiekt spełniający założenia, jednak bez konstrukcji. Przykład: aby udowodnić, że wielomian $x^{3}-8$ ma pierwiastek rzeczywisty, zauważmy, że przyjmuje on wartość ujemną dla $x=0$ i dodatnią dla $x=100.$ Ponieważ $y=x^{3}-8$ jest funkcją ciągłą, z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że wielomian ma miejsce zerowe w przedziale $(0,100).$ Innym przykładem jest wykorzystanie zasady szufladkowej Dirichleta.
Dowód nieefektywny to dowód wykorzystujący aksjomat wyboru.

W złożonych, wielostopniowych dowodach wykorzystuje się twierdzenia pomocnicze, tzw. lematy.

Rola dowodu matematycznego

Dowód matematyczny może przyjmować następujące role:

rola weryfikacyjna (pozwala stwierdzić poprawność hipotezy)^[1];
rola wyjaśniająca (pozwala znaleźć powód dla którego dane twierdzenie jest prawdziwe)^[1];
rola wyjaśniająca (pozwala uzyskać społeczną aprobatę)^[1];
rola systemacyzacyjna (pozwala uporządkować różne wyniki zgodnie z systemem głównych pojęć i twierdzeń)^[1];
rola komunikacyjna (pozwala przekazywać innym gotowe wyniki i obserwacje)^[1];
rola estetyczna (pozwala dane rozumowanie zapisać w sposób elegancki i klarowny)^[1];
rola satysfakcjonująca (pozwala odczuć satysfakcję, radość, dumę i uczucie odniesienia sukcesu po skutecznym przeprowadzeniu dowodu)^[1];
rola transferowa (pozwala zachować techniki dowodowe, które mogą okazać się przydatne w dowodzeniu lub zrozumieniu innych twierdzeń)^[1].

Dowód formalny

W teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego dowodu formalnego, który jest skończonym ciągiem wyrażeń $p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n}$ ustalonego języka sformalizowanego, takim że dla każdego $i=1,\dots ,n:p_{i}$ jest aksjomatem lub $p_{i}$ jest wnioskiem z przesłanek $p_{j},p_{k}$ (gdzie $j,k<i$ ) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły dedukcyjnej.

Jeżeli dany ciąg $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów $A,$ to mówi się, że jest to dowód formalny dla $p_{n}$ z $A$ oraz że $p_{n}$ da się dowieść z $A.$

Dowodem formuły $A,$ w oparciu o zbiór formuł $X$ nazywamy każdy skończony ciąg formuł $D_{1},D_{2},D_{3},\dots ,D_{n}$ taki, że $D_{n}=A$ (czyli ostatnia formuła w tym ciągu jest identyczna z formułą dowodzoną) oraz dla każdego wskaźnika $k<$ $n$ spełniony jest przynajmniej jeden z nastepujących warunków:

$D_{k}\in$ $X$ (czyli formuła $D_{k}$ może być wzięta ze zbioru, w oparciu o który dowód jest prowadzony);
istnieją: wskaźnik $j<$ $k$ , formuła $B$ oraz wskaźnik $i$ takie, że $D_{k}=S(B,p_{i},D_{j})$ (czyli $D_{k}$ powstaje z pewnej wcześniejszej formuły $D_{j}$ przez zastosowanie reguły podstawiania);
istnieją takie $i,j$ , że $i<k,j<k$ oraz $D_{j}=\ulcorner D_{i}\to D_{k}\urcorner$ (czyli $D_{k}$ podstaje z pewnych wcześniejszych formuł $D_{i}$ oraz $D_{j}$ przez zastosowanie reguły odrywania reguły odrywania)

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Anna K. Żeromska, Metodologia matematyki jako przedmiot badań antropomatematycznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie, Kraków 2013, s. 58.

Linki zewnętrzne

Wiktor Bartol, O dowodzeniu, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
MarcusM. Giaquinto MarcusM., The Epistemology of Visual Thinking in Mathematics, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 2 października 2015, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-08-07] (ang.). (Epistemologia myślenia wzrokowego w matematyce) – artykuł m.in. o dowodach graficznych
Roman Murawski, On a Proof in Mathematics, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 13 marca 2012 [dostęp 2024-09-04].

[ant-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Anna K. Żeromska, Metodologia matematyki jako przedmiot badań antropomatematycznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie, Kraków 2013, s. 58.

[1]