위상 벡터 공간

수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 영어: topological vector space, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다.

정의

$K$ 가 위상환이라고 하자. 그렇다면 $K$ -위상 왼쪽 가군(영어: topological left $K$ -module) $V$ 는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 $K$ -왼쪽 가군이다.

(덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 $\colon V\times V\to V$ 는 연속 함수다. (여기서 $V\times V$ 는 곱위상을 갖춘다.)
(스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 $\cdot \colon K\times V\to V$ 는 연속 함수다. (여기서 $K\times V$ 는 곱위상을 갖춘다.)

마찬가지로 $K$ -위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, $K$ 가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 $K$ 가 위상체라면, $V$ 를 $K$ -위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T₁ 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다.

위상 벡터 공간의 부분 집합

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간 $V$ 속의 부분 집합 $E\subseteq V$ 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념	정의
균형 집합	임의의 스칼라 $t\in \mathbb {K}$ , $\|t\|\leq 1$ 에 대하여 $tE\subseteq E$
유계 집합	임의의 0의 근방 $U\ni 0$ 에 대하여, $tU\supseteq E$ 인 스칼라 $t\in \mathbb {K}$ 가 존재
흡수 집합	$\forall v\in V\exists r\in \mathbb {R} ^{ }\forall t\in \mathbb {K} \colon (\|t\|\geq r\implies v\in tE)$

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 $\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

연산

연속 쌍대 공간

위상환 $K$ 에 대한 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$ 이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 $_{K}V\to {}_{K}K$ 들의 집합은 $K$ -위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 $V$ 의 연속 쌍대 가군 $V'_{K}$ 이라고 한다. 만약 $K$ 가 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다.

이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

약한 위상

위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 $V$ 의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 영어: strong topology)이라고 한다.

구체적으로, 위상환 $K$ 에 대한 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$ 의 연속 쌍대 가군 $V'$ 으로 생성되는 시작 위상을 $V$ 의 약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 $V$ 에 약한 위상을 부여한 것을 $V^{\text{weak}}$ 라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

\left\{\phi ^{-1}(U)\colon U\in \operatorname {Open} (K),\;\phi \in V'\right\}

여기서 $\operatorname {Open} (K)$ 는 $K$ 의 열린집합들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

V'=(V^{\text{weak}})'

V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}

성질

분리공리

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

$V$ 는 T₁ 공간이다.
$V$ 는 하우스도르프 공간이다.
$V$ 는 하우스도르프 정칙 공간이다.
$V$ 는 티호노프 공간이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T₁부터 T_3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

거리화 가능성

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:18, Theorem 1.24}

제1 가산 공간이다.
유사 거리화 가능 공간이다.
$V$ 의 위상은 평행 이동 불변 유사 거리 함수로 유도될 수 있다.

이는 위상군의 버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다.

유한 차원

실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$ , $W$ 에 대하여, 만약

$V$ , $W$ 가 하우스도르프 공간이며,
$\dim V=\dim W<\infty$

라면, 모든 전단사 선형 변환

V\to W

은 위상 동형이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 $\mathbb {R} ^{n}$ 이나 $\mathbb {C} ^{n}$ ( $n\in \mathbb {N}$ )밖에 없다.^[1]^{:16, Theorems 1.21}^[2]^{:22, Theorem 3.5} 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 비이산 위상을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:17, Theorems 1.22}^[2]^{:23, Theorem 3.6}

$\dim V<\infty$
$V$ 는 국소 콤팩트 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$ 의 모든 유한 차원 부분 공간 $W\subset V$ 는 닫힌집합이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 비이산 위상을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 닫힌집합이 아니다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.
↑ ^가 ^나 Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 3 printing correct판. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9928-5. ISBN 978-0-387-05380-6. ISSN 0072-5285. MR 0342978. Zbl 0217.16002.

Grothendieck, A. (1992). 《Topological vector spaces》. Notes on Mathematics and Its Applications (영어). Orlando Chaljub 역 3판. Gordon and Breach. ISBN 0-677-30020-4. Zbl 0763.46002. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Köthe, Gottfried (1969). 《Topological vector spaces I》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 159. Springer. ISBN 0-387-04509-0. Zbl 0179.17001.
Köthe, Gottfried (1979). 《Topological vector spaces II》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 237. Springer. Zbl 0417.46001.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6.
Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.

외부 링크

“Topological vector space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Topological module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Weak topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Strong topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological vector space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Topological vector space”. 《nLab》 (영어).

[RudinFunctionalAnalysis-1] 가 ^나 ^다 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.

[Schaefer-2] 가 ^나 Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 3 printing correct판. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9928-5. ISBN 978-0-387-05380-6. ISSN 0072-5285. MR 0342978. Zbl 0217.16002.

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