Loxodroma

A loxodroma egy gömb felületére írt csavarvonal. A földgömbre írt loxodroma a földrajzi hálózat minden meridiánját azonos szögben metszi. Ez a tulajdonsága teszi lehetővé, hogy a jármű az északi iránnyal állandó szöget (azimut, kurzus) bezáró útirányt tartva jusson a célba.

Matematikai leírása

A földrajzi koordináta-rendszerben az Egyenlítő és a nullmeridián metszéspontjából induló α irányszögű loxodroma egyenlete:

$\lambda =\pm {\frac {180^{o}\cdot \mathrm {tg} {\alpha }}{\pi }}\cdot \ln {\mathrm {tg} {(45^{o} \varphi /2)}}\mod 360^{o}$ .

A kettős előjel közül a ( ) kelet felé (jobbra) csavarodó, a (−) nyugat felé (balra) csavarodó görbéhez tartozik.

A függvény értelmezési tartománya a -90° < φ < 90° nyílt intervallum. A görbe a pólusok felé közeledve minden meridiánt periodikusan (ismételten) metsz. A görbe teljes hossza véges(!), csak az α kurzusszögtől és a gömb R sugarától függ:

$S={\frac {R\pi }{\cos {\alpha }}}$ .

Mercator-vetület

Ha a [φ;λ] földrajzi koordináták hálózatát az

$x\gets \lambda$

$y\gets \ln {\mathrm {tg} {(45^{o} \varphi /2)}}$

leképezések alkalmazásával a síkba vetítjük, akkor a Mercator-féle szögtartó vetületet kapjuk. Itt az origóra illeszkedő loxodroma vetülete egyenes, egyenlete: $x=my$, ahol $m=\mathrm {tg} {(\alpha )}$ az egyenes meredeksége, iránytangense. A loxodromához tartozó kurzusszög tehát:

$\alpha =\mathrm {arctg} {(x/y)}$.

Sztereografikus vetület

A földrajzi fokhálózatot a déli pólusból az északi pólusban érintő síkra vetítjük a

$\lambda \gets \lambda$

$\rho \gets 2R\mathrm {tg} {(\varphi /2-45^{o})}$

leképezéssel, ahol [ρ;λ] a síkbeli polárkoordináták. Az így kapott szögtartó stereografikus térképen a loxodroma vetülete logaritmikus spirális:

$\rho =K\cdot \exp {(\mp \lambda \cdot \mathrm {ctg} {\alpha })}$.

Kapcsolódó lapok

A loxodroma meghatározására a navigáció során kerül sor.

A loxodromához kapcsolódó ortodroma két gömbfelületi pont közötti legrövidebb felületi vonal.

Források

• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei - Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951.
• Bartsch, Hans-Jochen: Matematische Formeln - Fachbuchverlag, Leipzig, 1967.
• Steinert, K.-G.: Sphärische Trigonometrie - Teubner Verlaggeselschaft, Leipzig, 1977.
• Steinhaus ,H: Matematikai kaleidoszkóp, Művelt Nép Könyvkiadó, Budapest, 1951.