Analytická geometrie

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru $(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ je ${\sqrt {v_{1}^{2} \ldots v_{n}^{2}}}$ a skalární součin vektorů $(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1} \ldots v_{n}w_{n}$. Přímky jsou dány jako množiny $\{a t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu $(x_{0},y_{0})$ (středu kružnice). Její rovnice je $(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}=r^{2}$. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

$A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

$A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p:a_{1}y_{1} \ldots a_{n}y_{n} d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1} \ldots a_{n}x_{n} d=0$

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

• uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
• na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
• vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost $m$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ${(x-x_{0})}^{2} {(y-y_{0})}^{2}=r^{2}$, pak mocnost bodu $[x^{\prime },y^{\prime }]$ k této kružnici se určí jako

$m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2} {(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}$

Pro $m=0$ leží bod na kružnici, pro $m>0$ leží bod vně kružnice a pro $m<0$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů $x,y$ splňujících rovnice

$y=k_{1}x q_{1}$

$y=k_{2}x q_{2}$

Podmínka rovnoběžnosti je $k_{1}=k_{2}$. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice $k_{1},k_{2}$ splňují podmínku $k_{1}k_{2} 1=0$.

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}\quad y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}$

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

$a_{1}x b_{1}y c_{1}z d_{1}=0,\quad a_{2}x b_{2}y c_{2}z d_{2}=0\quad$.

a

$a_{3}x b_{3}y c_{3}z d_{3}=0,\quad a_{4}x b_{4}y c_{4}z d_{4}=0\quad$

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{pmatrix}}$

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic $r_{1}$, $r_{2}$ a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

• jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k₁)
  • pokud zároveň $r_{1}=r_{2}$, pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
  • v ostatních případech ($r_{1}\neq r_{2}$) nemají společný bod.
• nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud $0<s<\left|r_{1}-r_{2}\right|$ (viz kružnice k a k₂)
• mají vnitřní dotyk, pokud $s=\left|r_{1}-r_{2}\right|$ (viz kružnice k a k₃)
• se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud $\left|r_{1}-r_{2}\right|<s<r_{1} r_{2}$ (viz kružnice k a k₄)
• mají vnější dotyk, pokud s = r₁ r₂ (viz kružnice k a k₅)
• nemají společný bod (leží vně), pokud s > r₁ r₂ (viz kružnice k a k₆)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru $r$.

• $s>r$: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
• $s=r$: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
• $s<r$: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí $y=kx q$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí $x^{2} y^{2}=r^{2}$, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

$\left[-{\frac {qk}{1 k^{2}}}\pm {\frac {1}{1 k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1 k^{2})-q^{2}}},\;{\frac {q}{1 k^{2}}}\pm {\frac {k}{1 k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1 k^{2})-q^{2}}}\right]$

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen $D=r^{2}(1 k^{2})-q^{2}$. Pro $D>0$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro $D=0$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro $D<0$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny $\rho ,\sigma$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku $p$, se nazývají různoběžné a značí $\rho \nparallel \sigma$. Přímka $p$ se nazývá průsečnice obou rovin $\rho$ a $\sigma$.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi $a_{1}x b_{1}y c_{1}z d_{1}=0$ a $a_{2}x b_{2}y c_{2}z d_{2}=0$, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

• Geometrie
• Euklidova geometrie
• Algebraická geometrie
• Diferenciální geometrie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu analytická geometrie na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph114037 PSH: 7323 BNF: cb11938440r (data) GND: 4001867-2 LCCN: sh85054141 LNB: 000082628 NDL: 00564622 NLI: 987007563082805171

Portály: Matematika